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Développement en série entière (vérification)

Posté par
gbm Webmaster 25-05-09 à 21:03

Bonjour, je voudrais voir avec vous les résultats que j'ai pu trouver :

1. Déterminer y(x) développable en série entière de xy''(x) + y'(x) + y(x) = 0.
2. En supposant y(0)>0, déterminer les variations de y sur ]-inf ; 0], lim y(x) en -inf.

____________________________________________________________________

1. Méthode au départ classique : soit y sur ]-R ; R[ tel que

3$y=\sum_{i=0}^{+\infty} an.x^n
3$y'=\sum_{i=1}^{+\infty} n.an.x^{n-1}
3$y''=\sum_{i=2}^{+\infty} n.(n-1).an.x^{n-2}
________________________________________________________

Soit 3$\sum_{i=2}^{+\infty} n.(n-1).an.x^{n-1} + 3$\sum_{i=1}^{+\infty} n.an.x^{n-1} + 3$\sum_{i=0}^{+\infty} an.x^n = 0

Par changement de variable, on a
3$\sum_{p=1}^{+\infty}[p(p+1)a_{p+1} + (p+1)a_{p+1} + a_{p}] - a1 - a0 = 0

Par unicité du DSE en 0, a1 = 0, a0 = 0 et pour tout p 1
3$p(p+1)a_{p+1} + (p+1)a_{p+1} + a_{p}
<=> (p+1)^2a_{p+1} + ap = 0

<=> a_{p+1}=-\frac{ap}{(p+1)^2}

faut-il distinguer des cas ?

2. Je ne vois pas comment faire.

Merci à ceux qui pourront m'expliquer comment faire .

Posté par
gbm Webmasterre : Développement en série entière (vérification) 25-05-09 à 21:09

Par unicité du DSE en 0, a1 = 0, a0 = 0 et pour tout p >= 1,

j'ai oublié =0 à la fin de la première relation

Posté par
verdurinre : Développement en série entière (vérification) 25-05-09 à 21:31

Bonsoir.
Je ne vois pas pourquoi de a_1+a_0=0 tu déduis a_1=a_0=0.
Sinon a_{p+1}=-\frac{a_p}{(p+1)^2^} me semble juste, mais quels cas veux-tu distinguer ?

Posté par
gbm Webmasterre : Développement en série entière (vérification) 25-05-09 à 21:33

Bonsoir Verdurin,

Désolé, c'est une petite erreur de ma part oui.

Sinon, c'est pour savoir comment conclure .

Et ce qui m'embête par-dessus c'est la question 2...

Posté par
verdurinre : Développement en série entière (vérification) 25-05-09 à 22:00

Ta solution est
f(x)=a_0 \sum_{p=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^n}{(n!)^2^}=a_0 \sum_{p=0}^{\infty}\frac{(-x)^n}{(n!)^2^}
Si x<0 tous les termes sont positifs et décroissants en fonction de x.

Posté par
gbm Webmasterre : Développement en série entière (vérification) 25-05-09 à 22:06

C'est tout ? Je voyais cela + compliqué

Sinon, comment justifie-t-on précisément la limite pour y en -inf ?

Posté par
verdurinre : Développement en série entière (vérification) 25-05-09 à 22:13

Je ne sais pas : je ne l'ai pas cherchée.

Posté par
gbm Webmasterre : Développement en série entière (vérification) 25-05-09 à 22:18

Alors comment fait-on ? C'est finalement cela qui me posait le plus grand pb...

Posté par
verdurinre : Développement en série entière (vérification) 25-05-09 à 22:21

En fait c'est assez simple : pour x<0 on a f(x)>1-x

Posté par
gbm Webmasterre : Développement en série entière (vérification) 25-05-09 à 22:25

Donc par minoration on aurait lim f(x) = +inf ?
x-> -inf

Et pour montrer f est décroissante pour x<0, cela suffit de dire que

Citation :
tous les termes sont positifs et décroissants en fonction de x


Pardonne-moi d'être aussi minutieux mais cela me donne aussi une rédaction-type.

Posté par
verdurinre : Développement en série entière (vérification) 25-05-09 à 22:51

Je t'ai donné une idée de départ.
Je ne dirais pas que ma rédaction est très correcte.
Et rédiger n'est pas mon activité favorite.

Il faut montrer que f est définie sur \mathbb{R} (rayon de convergence de la série).
Pour la décroissance on peut commencer par montrer que les fonctions x\mapsto (-x)^n sont décroissante sur\mathbb{R}^- pour tout entier n
Puis
Soient x_1 et x_2 deux réels tels que x_1<x_2<0 \displaystyle f(x_1)-f(x_2)=a_0\sum_{p\in \mathbb{N}}\frac{(-x_1)^n-(-x_2)^n}{(n!)^2^}
La série est convergente car...
Tout les termes sont positifs
la somme est positive donc f(x_1)-f(x_2)>0 etc...

Posté par
gbm Webmasterre : Développement en série entière (vérification) 25-05-09 à 22:55

Merci beaucoup

Bonne soirée


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