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Développement en séries de exponentielle intégrale

Posté par
theboss1er 26-01-09 à 21:51

bonjour

commment réaliser ce développement en série ? le théorème de convergence dominée ne marche pas..

merci d'avance

@+

Posté par
Nightmarere : Développement en séries de exponentielle intégrale 26-01-09 à 21:54

Bonsoir,

pourquoi le théorème de convergence dominée?

Il te suffit de calculer le DSE de l'intégrande puis de justifier l'interversion des symboles 3$\rm \Bigint et 3$\rm \Bigsum

Posté par
theboss1erre : Développement en séries de exponentielle intégrale 26-01-09 à 22:19

justement je n'arrive pas à justifier cette interversion (c'est pour ca que j'essayais la convergence dominée)

Posté par
theboss1erre : Développement en séries de exponentielle intégrale 26-01-09 à 22:37

vu qu'on vient juste de voir le théorème de convergence dominée et le théorème d'intégration termes à termes je ne sais pas si on peut traiter cela en fait..

Posté par
Nightmarere : Développement en séries de exponentielle intégrale 26-01-09 à 23:08

Que trouves-tu déjà comme développement en série de l'intégrande? En fait on a pas totalement un développement en série entière, on a un reste de la forme 3$\rm C+ln(x) avec C une constante (qui s'avère être la constante 3$\rm \gamma )

Posté par
theboss1erre : Développement en séries de exponentielle intégrale 26-01-09 à 23:15

oui j'avais vu ca avec Maple c'est pour ca que j'ai eu l'idée de l'interversion Somme/Intégrale

j'ai exp(-t)/t = Somme(n=0..infini) [ (-1)^n * t^(n-1) / n! ]

Posté par
theboss1erre : Développement en séries de exponentielle intégrale 27-01-09 à 00:12

quelqu'un a une idée pour justifier l'interversion du signe intégrale et somme ?

Posté par
theboss1erre : Développement en séries de exponentielle intégrale 27-01-09 à 23:31

bonjour,

quelqu'un peut m'aider svp ???

merci d'avance

Posté par
theboss1erre : Développement en séries de exponentielle intégrale 28-01-09 à 23:38

svp qui peut m'aider à justifier l'interversion de ces 2 opérateurs ???

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Développement en séries de exponentielle intégrale 28-01-09 à 23:55

Quelle est au juste l'expression à développer ?

Posté par
theboss1erre : Développement en séries de exponentielle intégrale 29-01-09 à 18:57

bonjour

je voudrais développer 4$ \Bigint_{x}^{+\infty}\frac{4$e^{-t}}{4$t} dt en 0 par exemple.
j'avais essayer de transformer l'exp en série mais je ne parviens pas à justifier l'interversion somme/intégrale

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Développement en séries de exponentielle intégrale 29-01-09 à 19:34

Et si tu intervertis les signes \int et \Bigsum tu obtiens quoi 6$?!!

Posté par
theboss1erre : Développement en séries de exponentielle intégrale 29-01-09 à 20:27

bin j'obtiens un développement en ln(x) - x mais il me manque une constante apparemment ... mais tjr pas de justification de l'interversion ..

Posté par
theboss1erre : Développement en séries de exponentielle intégrale 29-01-09 à 20:29

-ln(x)+x plutôt

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Développement en séries de exponentielle intégrale 29-01-09 à 21:49

Tu veux dire qu'en écrivant pour t>0 , \fbox{\frac{e^{-t}}{t}=\Bigsum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^nt^{n-1}}{n!}} et en intervertissant \int et \Bigsum dans l'expression

\fbox{\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t}dt=\int_x^{+\infty}\left(\Bigsum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^nt^{n-1}}{n!}\right)dt} tu aboutit à ce développement ?!!

Posté par
theboss1erre : Développement en séries de exponentielle intégrale 29-01-09 à 22:05

tout à fait

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Développement en séries de exponentielle intégrale 29-01-09 à 22:23

Peux tu rédiger cette intervertion ?

Posté par
theboss1erre : Développement en séries de exponentielle intégrale 29-01-09 à 22:31

tout le problème est là justement je ne peux pas utiliser le théorème d'intégration termes à termes donc je ne sais pas quoi faire ??....

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Développement en séries de exponentielle intégrale 29-01-09 à 22:40

Et comment tu fait apparaître le terme -\ell n(x)+x dans le développement 5$?

Posté par
theboss1erre : Développement en séries de exponentielle intégrale 29-01-09 à 22:48

euh oui en fait ca marche pas du tout ce que je raconte ... non bien je ne vois pas du tout en fait

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Développement en séries de exponentielle intégrale 29-01-09 à 23:12

Alors voilà ce que je te propose :

En notant pour \fbox{x>0} , 2$\fbox{f(x)=\int_x^{+\infty}\;\frac{e^{-t}}{t}dt}

essayes d'abord de prouver que 4$\blue\fbox{f(x)=-\ell n(x)-\gamma-x\int_0^1\ell n(t)e^{-tx}dt} sauf erreur bien entendu

Posté par
theboss1erre : Développement en séries de exponentielle intégrale 30-01-09 à 22:10

ok merci je vais essayer ça ce week-end

bonne soirée !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Développement en séries de exponentielle intégrale 31-01-09 à 00:26

Bonne soirée theboss1er

Posté par
theboss1erre : Développement en séries de exponentielle intégrale 01-02-09 à 00:25

bonsoir

j'ai posé le changement de variable u=tx et je trouve que f(x) = lnx*exp(-x) + l'expression proposée


il me semble que j'ai fait une erreur...

aussi comment introduire le fait que l'intégrale de 0 à +oo de ln(t)exp(-t) vaut la constante d'Euler gamma ?

Posté par
theboss1erre : Développement en séries de exponentielle intégrale 01-02-09 à 18:40

rebonjour

j'obtiens bien l'égalité demandé à l'aide d'un changement de variable et d'une intégration par partie

le seul truc qui me gène c'est de sortir la valeur de gamma mais bon...

sinon maintenant que j'ai cette relation je peux avancer ?

merci en tout cas elhor_abdelali

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Développement en séries de exponentielle intégrale 01-02-09 à 20:37

\fbox{*} La preuve de l'identité 3$\blue\fbox{\int_0^{+\infty}\ell n(t)e^{-t}dt=-\gamma} étant classique (et assez laborieuse) on va l'admettre ici

\fbox{*} En utilisant une formule de Taylor tu peux montrer que :

4$\red\fbox{\forall x\ge0\;,\;x\int_0^1\ell n(t)e^{-tx}dt=\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^n}{nn!}} sauf erreur bien entendu

Posté par
theboss1erre : Développement en séries de exponentielle intégrale 01-02-09 à 21:28

Merci

ce serait pas un produit de Cauchy plutôt ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Développement en séries de exponentielle intégrale 01-02-09 à 22:12

Le produit de Cauchy de quelles séries 5$?

Posté par
theboss1erre : Développement en séries de exponentielle intégrale 01-02-09 à 22:23

celui de ln(t) et de exp(-tx)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Développement en séries de exponentielle intégrale 01-02-09 à 23:54

Peux tu écrire ces deux développements 4$?

Posté par
theboss1erre : Développement en séries de exponentielle intégrale 02-02-09 à 18:32

a non ya un problème pour ln(x) en 0

non?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Développement en séries de exponentielle intégrale 02-02-09 à 18:47

Effectivement
Il est donc plus prudent d'utiliser L'inégalité de Taylor- Lagrange pour majorer en valeur absolue la quantité \;e^{-tx}-\Bigsum_{k=0}^n\frac{(-1)^kt^kx^k}{k!}
multiplier par \ell n(t) puis intégrer (en t) sur ]0,1] sauf erreur bien entendu

Posté par
jandri Correcteurre : Développement en séries de exponentielle intégrale 02-02-09 à 22:27

Bonjour,

La preuve de 4$\fbox{\forall x\ge0\;,\;x\int_0^1\ell n(t)e^{-tx}dt=\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}x^n}{nn!}} peut se faire en intégrant terme à terme:
4${x\int_0^1\ell n(t)e^{-tx}dt=\int_0^1\Bigsum_{n=0}^{+\infty}x\ell n(t)\frac{(-tx)^{n}}{n!}dt=\Bigsum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^nx^{n+1}}{n!}\int_0^1\ell n(t)t^{n}dt}.
Puisque 4${\int_0^1\ell n(t)t^{n}dt=[\frac{t^{n+1}}{n+1}\ell n(t)]_0^1-\int_0^1\frac{t^{n}}{n+1}dt=-\frac1{(n+1)^2}} les hypothèses du théorème sont vérifiées et on obtient:
4${\Bigsum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{n!(n+1)^2}=\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}x^n}{nn!}} en changeant n en n-1.

Posté par
theboss1erre : Développement en séries de exponentielle intégrale 05-02-09 à 19:04

Merci Beaucoup à vous !!!

@+


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