Pour vérifier tes résultats :

Bonjour,
je suis en pleine révision sur les DLs, et donc je refais des exercices sur le forum.

J'aurais voulu savoir si tous le monde trouvez pareil que franz car moi non. j'ai commencé par faire le DL de l'exponentiel  puis je me retrouve avec une fonction de la forme :
avec

et donc je fais le DL  de que je multiplie par x pour trouver au final x-x²/2
Voila merci de m'aider.

f(x) = 2 + o(x³)

merci benji, mais je voulais des infos  sur la 2eme fonction g(x)

Je suis en train de la faire oui, mais je bloque, car il faut que le dénominateur ne tende pas vers 0 en 0... Je réfléchis^^

A c'est bon ^^

Alors

e^x - 1 = x + x²/2 + x³/6 + o(x³)

Donc x / (e^x - 1) = 1 / ( 1 + x/2 + x²/6 ) + o(x³)

Ensuite tu fais une division suivant les puissances croissantes, tu sais faire ?

euh ... sa me dit rien du tout sa lol.
Moi ce que j'ai fais j'ai pas cherché  j'ai d'abord fais le DL de e^x aprés j'ai viré le 1 avec le -1 de (e^x - 1) et donc sa sa serai pas bon?

Si si j'ai fais ça aussi regarde :

e^x = 1 + x + x²/2 + x³/6 + o(x³)

donc

e^x - 1 = x + x²/2 + x³/6 + o(x³).

Ensuite tu as donc :

x / x + x²/2 + x³/6 + o(x³)

Tu simplifies par x, tu as :

1 / 2 + x/2 + x²/6 + o(x²)

Oups désolé, erreur de frappe à la dernière ligne (j'ai mis un 2, c'est un 1)

1 / 1 + x/2 + x²/6 + o(x²)

Tu comprends jusqua là ? T'y es arrivé ?

merci de m'aider. je suis d'accord avec toi jusqu'a e^x - 1 = x + x²/2 + x³/6 + o(x3). sauf que ici on nous demande a l'ordre 2 donc moi j'ai viré la fin.
Aprés pour la suite, j'essaye de comprend comme tu es passé d'une fraction en une somme de fraction.^^

Je crois que tu a hormis des parenthèses non?

A oui oui j'ai pas mis les parenthèses.

En fait, j'ai fais un DL à l'ordre 3, car ensuite il faut simplifier par le x du numérateur, donc on aura de l'ordre 2 au dénominateur après avoir simplifié.

Ce qui nous fait :

x / ( e^x - 1 ) = x / ( x + x²/2 + x³/6 + o(x³)
)

d'où en simplifiant par x,

x / ( e^x - 1 ) = 1/ ( 1 + x/2 + x²/6 + o(x²) )


// Je suis en plein dans les révisions (partiels dans 2jours... lol) sur les DL moi aussi donc c'est avec plaisir que je t'aide^^

oui mais je trouve que c'est pas très joli ta forme final lol. J'aurais préféré une forme comme la réponse de franz.

Dis moi si mon raisonnement est faux.

J'ai donc commencé comme toi , le DL de l'exp, puis je me suis retrouvé avec une forme de x/(x+x²/2) donc j'ai mis x en facteur ce qui me donne x*(1/(1+u)) avec u=x/2 et donc aprés j'ai fais le DL de 1/(1+u) pour trouver 1 - x/2 + x²/2 que je multiplie par le x
me donnant ainsi g(x)=x- x²/2 .

Moi aussi j'ai partiel dans 2 jours donc j'essaye de gagner quelque point sur les DL car c'est le seul endroit où je peux en gagner lol. Sinon toi tu ferais pas du langage C  au tout hasard...( je dis sa a cause du " // " pour le commentaire

/* Non non pas de C lol */

Pour le résultat que j'ai donné, j'ai pas terminé, ensuite il faut faire une division suivant les puissances croissantes, mais si t'as pas vu en cours comment faire, on va faire ta méthode, car on peut très bien faire comme tu as fais, sauf que tu as fais quelques erreurs de calcul c'est tout^^

Alors c'est parti

On part de la forme : x / ( x + x²/2 )

Et donc on a x * [ 1 / ( x + x²/2 ) ] // tu avais une erreur à ce niveau car tu as divisé par x en bas aussi, alors qu'on met juste le x du numérateur devant la fraction.

Je te laisse continuer pour voir^^

Enfin, attends, parcequ'en ayant x * [ 1 / ( x + x²/2 ) ], on n'a plus 1/1+u ...

En fait, il faut que tu mettes x en facteur en haut et en bas, et donc tu simplifies par x comme j'ai fais tout à l'heure.

Tu as donc 1 / ( 1 + x/2 ) et là tu as 1/1+u

Mais à cet endroit tu n'as plus de l'ordre 2 en bas... C'est pour ça qu'il fallait partir de l'ordre 3...

Quand tu es à l'ordre 3, tu as : 1/(1+u) avec u = 1 + x/2 + x²/6 (ce que j'avais).

Mais là ton u ne tend pas vers 0 lorsque x tend vers 0, donc on ne peut pas faire ce changement de variable...

Je crois qu'on est obligé de passer par la division suivant les puissances croissantes... :/

Bien vu pour mon erreur et tu a été plus rapide que moi pour écrire la simplification. lol. Donc moi il me reste juste à ne pas multiplier  pax x ce qui donne 1 - x/2 + x²/2 + o(x²)

c'est ce que tu trouve par la divison des machins croissants?

Il y avait aussi une erreur sur ton DL de 1/(1+u), tu dois avoir :

1/(1+u) = 1 - u + u² + o(u²)

Et donc en mettant x/2 à la place de u, tu as :

1 - x/2 + (x/2)² + o(u²) = 1 - x/2 + x²/4

Excuses-moi je me suis trompé tout à l'heure en disant que le changement de variable ne marche pas...

u=x/2 fonctionne car u tend vers 0 quand x tend vers 0.

Car u = x/2 + x²/6 (j'avais mis un 1 de trop...)

Donc on peut surement le faire oui

Mais il faut faire un DL d'ordre 3 au début

oula je suis perdu. Je reprendrais sa après manger. merci de ton aide et bon apétit.

Non jsuis dégouté javais tout récrit pour que ce soit clair et j'ai fait retour............. tout perdu xD

Je le refais !

On a :

x / ( e^x - 1 ) = x / ( x + x²/2 + x³/6 ) = 1 / ( 1 + x/2 + x²/6 ).

On pose u = x/2 + x²/6

On a donc 1 / ( 1 + u ) = 1 - u + u²

En remplaçant, on a : 1 - ( x/2 + x²/6 ) + ( x/2 + x²/6 )² = 1 - x/2 - x²/6 + (x/2)² + 2*(x/2)*(x²/6) + (x²/6)²

// Les deux derniers termes ne servent à rien car ils vont donner de l'ordre 3 et 4.

Donc il nous reste :

1 - x/2 - x²/6 + x²/4 = 1 - x/2 + x²/12

Voilàa !!!!!!!!!

Merci beaucoup pour la résolution, j'ai encore du boulot car dés que je fais une DL je veux trop simplifier direct a l'ordre demandé alors que dans ce cas par exemple, il fallait quand même aller a l'ordre 3.
Merci, et si tu veux réviser, j'ai vu d'autre exo auquel je trouve pas les mêmes réponses. Surement que j'ai faux. lol.
Bonne soirée et merci encore.

De rien^^

Oui avant de s'attaquer à faire les DL, il faut réfléchir à quel ordre on doit calculer chaque expression, desfois ça sert à rien d'aller trop loin, et quelques fois on doit aller à un ordre supérieur.
Ca permet de gagner du temps ensuite.

Si t'as d'autres exos, envoies moi les liens : benji8101@hotmail.fr

De rien! bonne soirée a toi aussi.