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développement limité

Posté par
Twiky 04-09-08 à 21:23

Bonsoir à tous
Voilà je viens ici pour vous demander un petit coup de pouce pour un DL qui me pose quelques soucis.
Il s'agit de donner le Dl au voisinage de + à l'ordre 3 de :
f(t)= Arctan ( ( 1+t) / (1+t+t² ) )
La première chose que j'ai faîte, c'est de poser u = 1/t afin de me rammener à un DL à l'ordre 0 et j'obtiens :
f(t) = Arctan ( (u²+u) / (u²+u+1) )
Ensuite pour simplifier je pose X = u² + u et j'aboutis à :
f(t) = Arctan ( x / (1+x) )
Et là je bloque.... J'ai essayer d'utliser à ce moment la formule du DL de l'arctan  ( x -x3/3 + o(x3) mais le résultat que j'obtiens me parait très bizarre...
Toute aide sera la bienvenue
Merci d'avance et bonne soirée

Posté par
perroquetre : développement limité 04-09-08 à 21:53

Bonjour, Twiky

Je te conseille de commencer par chercher un DL3 de \frac{u+u^2}{1+u+u^2}

Tu trouveras:  u-u^3+o(u^3)

Prendre  l' arctan  de ce DL, ensuite

Posté par
Twikyre : développement limité 04-09-08 à 22:08

Bonsoir perroquet
Je te remercie infiniment pour ta réponse.
Ayant quitté les maths pour me plonger dans la physique, je pense que je me repencherais sur ce DL dès demain et je reviendrais faire part de mes résultats ( j'ai bien pris note de ton conseil )
Encore merci

Posté par
Matouille2bre : développement limité 04-09-08 à 23:24

Bonsoir

Tout tes changement de variables me paraissent tres bien

\frac{x}{1+x} = 1-\frac{1}{1+x}=1-(1-x+x^2-x^3+o(x^3)) = x-x^2+x^3+o(x^3)

Or x=u^2+udonc
\frac{x}{1+x} =u^2+u-(u^2+u)^2+(u^2+u)^3+o(u^3)=u^2+u-u^2-2u^3+u^3+o(u^3)==u-u^3+o(u^3)

De plus arctan(X) = X-\frac{1}{3}X^3 +o(X^3)

Donc f(t) = arctan(u-u^3+o(u^3)) = u-u^3-\frac{1}{3}u^3+o(u^3)=u-\frac{4}{3}u^3+o(u^3)=\frac{1}{t}-\frac{4}{3t^3}+o(\frac{1}{t^3})

Posté par
Nightmarere : développement limité 05-09-08 à 00:42

Matouille2b tu sembles un peu trop souvent passer après des correcteurs qui ont donner une simple indication, c'est assez désagréable...

Posté par
Matouille2bre : développement limité 05-09-08 à 23:18

Ok désolé je voulais juste rendre service ... Je resterai à l'écart désormais ...


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