Pour ne pas trainer les o(x^n), écrivons EQ (équivalent)

D'après la formule de Taylor-Young pour f continue en x

f(x) = f(0) + (x^1)*f'(0)/1! + (x^2)*f''(0)/2! + etc

Donc au voisinage de 0

     Exp(x) EQ 1 + x + (x^2)/2 + (x^3)/6 + (x^4)/24

     Cos(x) EQ 1 - (x^2)/2 + (x^4)/24

     Ln ( 1 + x ) EQ x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4

Donc Exp(x) - Cos(x) - x EQ (x^2) + (x^3)/6

Et x - Ln ( 1 + x ) EQ (x^2)/2 - (x^3)/3 + (x^4)/4

Donc g(x) EQ ( 1 + x/6 ) / ( 1/2 - x/3 + (x^2)/4 )

          EQ 2 *( 1 + x/6 ) * ( 1 - 2*x/3 + (x^2)/2 )^(-1)

( 1 + u )^m EQ 1 + m*u + m*(m - 1)* (u^2) / 2 avec U EQ 0

Et ( 1 - 2*x/3 + (x^2)/2)^(-1) EQ 1 + 2*x/3 - (x^2)/2 + 4*(x^2)/9 )
                               EQ 1 + 2*x/3 - (x^2)/18

Donc g(x) EQ 2 *( 1 + x/6 ) * ( 1 + 2*x/3 - (x^2)/18 )
          EQ 2 * ( 1 + 5*x/6 + (x^2)/18 )
          EQ 2 + 5*x/3 + (x^2)/9

Et Lim g(x) = 2 si x --> 0

C'est une équivalence parfaitement valable si on comprend

que cela REMPLACE SIMPLEMENT l'écriture

Exp(x) = 1 + x + (x^2)/2 + o(x^2) (par exemple)

J'aurai pu développer en utilisant cette notation avec les "o" et j'aurais trouvé le même résultat.

C'est plus rapide d'écrire EQ qui en fait est un signe sinusoïdal que je n'ai pas trouvé sur le site donc je mets EQ.

Quant au résultat je pense qu'il est valable si j'en juge par la superposition absolument parfaite des courbes g(x) et 2 + 5*x/3 + (x^2)/9 au voisinage de 0 jusqu'à 0,001 au moins et même plus mais après il est difficile de voir. L'approximation est même valable de -0,4 à +0,4 avec 0,001 de précision.

Ce n'est pas le fait qu'on trouve le même résultat que notre méthode est correcte, le résultat ne justifie jamais la valeur de la méthode suivie, tu as appris en logique que 0 implique 1 est une assertion vraie.
Il est strictement interdit d'utiliser sans justification détaillée des équivalences pour une somme de deux fonctions ou leur composée à gauche.

Je te remercie pour la "leçon" de logique...

Le développement limité est valable. Toutes les justifications nécessaires y sont. C'est un DL classique... Si les "équivalences" étaient fausses, il y aurait quand même une forte probabilité de tomber sur un résultat faux, sinon c'est que j'aurais vraiment beaucoup de chance de trouver un résultat juste avec des raisonnements faux, surtout au bout d'un calcul aussi long. Mais ceci dit, et indépendamment de cela, c'est simplement un problème de sémantique. Tu pourrais très bien écrire la formule de Taylor-Young, au voisinage de x=0, avec EQ au lieu d'utiliser le signe "o" à un ordre de DL donné. Et pourtant cette formule contient bien des sommes.

Ecrire f(x) = f(0) + x*f'(0) + o(x^2) par exemple au voisinage de 0

est équivalent (cette fois-ci dans le sens <==> )

A        f(x) EQ f(0) + x*f'(0) au voisinage de 0

Ou encore Exp (x) = 1 + x + o(x^2)

est équivalent (cette fois-ci dans le sens <==> )

Exp (x) EQ 1 + x au voisinage de 0

C'est d'ailleurs une méthode pour trouver les limites du type (x->0)

( 1 - cos(x) ) / (x^2) = 1/2 car cos (x) EQ 1 - (x^2)/2

au voisinage de 0

!!!

Merci beaucoup...
bonne soirée