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Développement limité
Bonjour,
Je n'arrive pas à calculer le DL de f définie par
f : x
ln(2sin(x))
d'ordre 3 au voisinnage de 
/3.
Merci de m'aider 
f(x)=...=g(h)
on fait un DL d'ordre 3 de g en 0 et ensuite on remplace h par (x-/3) et on a un DL de f en /3
car il est équivalent de dire "x tend vers /3" et "h tend vers 0"
Un peu chiant le calcul, tu devrais trouver :
ln(3)/2 + V3/3(x-pi/3) -2/3(x-pi/3)² + 4V3/27(x-pi/3)^3 + o((x-pi/3)^3)
sauf erreur.
Euh oui mais faut poursuivre..
Laisse le ln(2) dans le log principal, et met plutôt V3 en facteur à l'intérieur, il faut que tu mettes sous la forme ln(1+Y) avec Y tendant vers 0 pour effectuer une composition de DL.
tout à fait !
maladroit d'avoir "séparé" le 2 qui était dans le "ln" car il arrangeait plutôt les calculs.
maintenant fais un DL en h à l'ordre 3 de cos(h) et sin(h) dans le "ln"...
cela donne ?
Est-ce que c'est normal que je trouve pour
ln(cos(h)+(sin(h)/V3)) = 1 + (h/V3) - (h²/2) + (V3h3-h3)/(6V3) ?
ce la me semble bizarre... surtout le dernier membre...
ce qui est encore plus bizarre, c'est que ton résultat ne tend pas vers 0 quand h tend vers 0... alors que le membre de gauche si !
détaille tes calculs...
MM
personnellement, je trouve (sauf erreur de ma part) :
f(h+/3)= ln(
3) + h/3 -2*h²/3 + 7*h3/(93) + o(h3)
petite divergence de vue avec infophile sur le dernier terme.
Dans ce genre de calculs il ne faut pas trop se presser, prend ton temps (enfin pas trop quand même..)
ln(cos(h)+sin(h)/V3) + ln(3)/2.
Ensuite comme je te l'ai suggéré on met sous la forme : ln(1+Y) avec Y -> 0 ici :
ln(1 + (cos(h)-1+sin(h)/V3)) + ln(3)/2 et tu vérifies que la parenthèse tend bien vers 0. Fais en alors un DL à l'ordre 3.
Puis tu composes avec le DL de ln(1+Y) en 0 à l'ordre 3 (tu pourras tronquer directement plusieurs termes sinon bonjour les calculs..)
Tu es sûr de ton 7 sur ton dernier terme MM ?
J'ai vérifié j'avais gardé ma feuille de calculs sous le nez et je trouve bien 4 à la place de ton 7, mais je peux me tromper. (je suis le roi de l'erreur de calcul).
Infophile >> je ne trouve pas comme toi sur le terme en h^3...
je ne trouve pas mon erreur... tu peux vérifier ton calcul s'il te plait ?
OK:
J'ai
cos(h) = 1 - (h²/2) + h3
1(h) avec 1(h) qui tend vers 0 quand h tend vers 0. (1)
sin(h) = h - (h3/6) + h32(h) avec 2(h) qui tend vers 0 quand h tend vers 0.
Donc
sin(h)/V3 = h/V3 - (h3/6V3) + h34(h) avec 4(h) qui tend vers 0 quand h tend vers 0. (2)
donc j'ai additionné (1) et (2) et j'ai trouvé ce que j'ai proposé dans mon message précéden.t
bon, tu as raison infophile ! la "voyage 200" donne ton résultat... mais je ne trouve toujours pas mon erreur !
ça énerve !
MM
ah ben j'ai trouvé : je ne sais plus mon DL de sinus... c'est du beau !
cela m'aurait valu un 5 en colle ça à l'époque !
désolé Infophile
milou >> si tu additionnes, cela ne te donne pas le membre de droite du message précédent... et de plus il y a un "ln" qui n'a rien à faire là dans le membre de gauche.
infophile >> d'accord Kevin (moi c'est alain). Bonne nuit à toi et probablement à une autre fois
j'ai donc
cos(h) + (sin(h)/V3) = 1 + (h/V3) - (h²/2) - h3/(6V3) + h3(h) avec (h) qui tend vers 0 quand h tend vers 0 ?
voilà... et ensuite tu mets cela dans le "ln" et tu utilises le DL de ln(1+u) avec u=toute la partie en h qui tend vers 0
OK; Juste une dernière question: Je dois développer [ (h/V3) - (h²/2) - h3/(6V3) ] tout cela au carré et au cube ?
oui... mais en ne prélevant que les termes de degré inférieur ou égal à 3 et en les regroupant.
je vais aller dormir,
bonne nuit et bon courage à toi (tu as la réponse donnée par infophile... ne prends pas la mienne, il y avait une erreur !)
alain
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