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Développement limité

Posté par
xps1616 22-05-09 à 14:49

Bonjour,

Il faut que je calcule le développement limité de (3+cosx)^1/2 à l'ordre 3 en 0.

J'y suis arrivé directement en remplaçant cos x par son DL. Mais je me pose la question, est ce que je peux poser x=pi/2+h avec h qui tend vers 0 et calculer directement le DL avec la forme (1+x)^alpha, puis remplacer h par x-pi/2 ?

merci

Posté par
Camélia Correcteurre : Développement limité 22-05-09 à 14:53

Bonjour

Si x doit tendre vers 0, tu peux poser x=h+\pi/2, mais alors h doit tendre vers -\pi/2 ce qui n'avance pas beaucoup!

Posté par
xps1616re : Développement limité 22-05-09 à 15:00

Merci, j'ai compris cependant je suis bloqué à l'exercice suivant :

DL(0,3) de (x-sinx)/(1-cosx)

merci de votre aide

Posté par
xps1616re : Développement limité 22-05-09 à 15:01

Faut il dériver et intégrer par la suite ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Développement limité 22-05-09 à 15:06

Non, à l'ordre 3 pour une fonction impaire, autant le faire à la main, d'autant que le dénominateur a un développement très simple...

Posté par
xps1616re : Développement limité 22-05-09 à 15:14

mais au dénominateur 1-cos x = -x^2/2 et je fais comment après ?

Posté par
xps1616re : Développement limité 22-05-09 à 15:18

Je viens de trouver. merci

Posté par
xps1616re : Développement limité 22-05-09 à 16:07

mince , j'ai toujours un problème ce n'est pas le bon résultat :

(x-sinx)= x ( x-x^3+x^5/120)

(1-cosx) = x^2/2

(x-sinx)/(1-cosx)= x/3-x^3/60

où est l'erreur ?

Posté par
xps1616re : Développement limité 22-05-09 à 16:08

(x-sinx)= x -(x-x^6+x^5/120)

(1-cosx) = x^2/2

(x-sinx)/(1-cosx)= x/3-x^3/60

Posté par
xps1616re : Développement limité 22-05-09 à 16:09

(x-sinx)= x -( x-x^3/6+x^5/120)

(1-cosx) = x^2/2

(x-sinx)/(1-cosx)= x/3-x^3/60

Posté par
Camélia Correcteurre : Développement limité 22-05-09 à 16:33

C'est juste, mais il serait bon que tu écrives les "petits termes" qui tendent vers 0.

Posté par
xps1616re : Développement limité 22-05-09 à 16:36

la réponse est x/3+x^3/90 mais je ne la trouve pas

Posté par
Camélia Correcteurre : Développement limité 22-05-09 à 16:48

Oui, il y a un terme perdu!

1-\cos(x)=\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}+o(x^5)=\frac{x^2}{2}\(1-\frac{x^2}{12}+o(x^3))
\frac{1}{1-\cos(x)}=\frac{2}{x^2}(1+\frac{x^2}{12}+o(x^2)\)
x-\sin(x)=\frac{x^3}{6}-\frac{x^5}{120}+o(x^5)

\frac{x-\sin(x)}{1-\cos(x)}=\(\frac{x}{3}-\frac{x^3}{60}+o(x^3)\)(1-\frac{x^2}{12}+o(x^3)\)=\frac{x}{3}-\frac{x^3}{60}-\frac{x^3}{36}+o(x^3)

et ça ne donne pas non plus ce que tu dis... Donc à vérifier!

Posté par
xps1616re : Développement limité 22-05-09 à 17:04

merci j'ai trouvé, vous avez fait une erreur de signe dans la derniere ligne en reportant le DL de 1/1-cosx

Posté par
Camélia Correcteurre : Développement limité 22-05-09 à 17:10

OUF!


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