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développement limité
Bonsoir,
Je suis en PCEM1 (concours de médecine) et nous avons eu un cours sur les ondes en physique où le prof nous démontrait comment calculer l'énergie potentielle d'une corde. Tout ça pour dire qu'à un moment il a utilisé un "développement limité" pour passer d'une ligne à l'autre sans expliquer ce que cela était, et, manque de chance, je ne sais pas ce que c'est.
J'ai fais des recherches sur internet, mais les réponses que je trouve sont trop compliquées pour mon humble niveau en math...
Je me demandais donc si quelqu'un pouvait m'expliquer simplement à quoi cela correspond, m'expliquer brièvement le concept, histoire que je ne soit pas trop perdue.
Merci d'avance
Bonjour,
En très gros, un développement limité (dl) est une approximation locale d'une fonction par un polynôme. Il est valable au voisinage d'un point (une valeur particulière de x), et est d'autant plus précise que le polynôme a un degré élevé. Par exemple, le dl au premier degré est une approximation par une droite qui est la tangente en ce point. Le dl au deuxième degré est une approximation par une parabole qui est la plus proche possible de la courbe autour de ce point, etc.
Exemple pour 1/(1+x) au voisinage de 0 :
degré 1 : 1 - x + o(x)
degré 2 : 1 - x + x2 + o(x2)
degré 3 : 1 - x + x2 - x3 + o(x3)
...
Le dernier terme o(x) (resp o(x2), o(x3)) étant là pour rappeler qu'il s'agit d'une approximation et que la différence entre la fonction et l'approximation est négligeable devant x (resp x2, x3)
Bien entendu, un dl autour d'une autre valeur que 0, par exemple x0, sera un polynôme en puissances de (x-x0)
D'accord... je pense que j'ai à peu près compris le principe... mais je n'ai pas compris l'exemple...
Je ne comprends pas comment on passe de 1/(1+x) à 1 - x + o(x) pour le degré 1 etc...
Est-ce qu'on utilise toujours 1 - x + x² + ... + x^n + o(x)^n ?
J'ai demandé à quelqu'un qui m'a répondu que c'était de la forme:
F(x)quand x tend vers 0 = F(0) + ( x^n/n! ) * dérivée nième de F(0)
Est-ce juste? Et comment démontre-t-on cela? (d'une manière pas trop compliquée si possible... sinon..bah tant pis..)
Même après toutes mes recherches je n'arrive toujours pas à comprendre l'application de mon cours (ca me travaille...)
Je vais donc essayer de vous la décrire...
En fait, on cherche a calculer l'énergie potentielle d'une corde dont la déformation est sinusoïdale.
Donc pour ca on considère un petit élément de corde de longueur dl et on va exprimer ce dl en fonction du sens de propagation de l'onde dx et de la déformation A.
Donc on peut exprimer dl en fonction de dx et A à l'aide du théorème de Pythagore:
dl = 
dx² + dA²
puis on factorise par dx:
dl = dx 1+ (dA/dx)²
puis il passe à la ligne suivante grâce à un "développement limité"
dl 
dx *( 1 + 1/2*(dA/dx)²)
Et c'est ce passage que je ne comprends pas...
on m'a dit aussi qu'on pouvait considérer que (1+
)^n = 1 + n... ce qui semble s'appliquer là... mais je n'aime pas appliquer quelque chose que je ne comprends pas...
Je ne sais pas si j'ai été très claire...
En tout cas merci pour votre aide..
Ah oui..pardon... une dernière chose..
Par rapport au fait que (1 + )^n 1 + n , ce n'est valable que si tend vers zéro...
Vous avez dit (à peu près) :
J'ai demandé à quelqu'un qui m'a répondu que c'était de la forme:
F(x)x ->0 = F(0) +
k=1n( xk/k! )F(n)(0) + o(xk)C'est exact.
L'idée de la démonstration, puisque cela semble vous intéresser, et que ces formules sont "exactes"
pour des polynômes, et qu'on les réutilise pour des fonctions suffisamment dérivables avec une mesure de l'approximation, ce qu'on appelle le "reste".
Par exemple, pour un polynôme d'ordre 2 :
P(x) = ax²+bx+c
P(0) = c
P'(x) = 2ax+b
P'(0) = b
P"(x) = 2a
P"(0) = 2a
P"(0)/2 = a
et les dérivées suivantes sont nulles
On a donc bien exactement :
P(x) = P(0) + P'(0).x + P"(0)x²/2
Deux liens intéressants sur le sujet :
La base théorique, c'est le théorème de Taylor :
Les développements limités et leur applications :
Pour votre problème particulier, vous chercher un dl de
(1+(da/dx)2) pour (da/dx) "petit".
En posant u = (da/dx)2, vous cherchez donc un dl de
(1+u) pour u au voisinage de 0
Or
(1+u) est de la forme (1+u)1/2, ou (1+u)a avec a = 1/2.
Dans le formulaire du second lien vous trouverez, par exemple à l'ordre 3 :
(1+u)a = 1 + au + a(a-1)u2/2! + a(a-1)(a-2)u3/3! + o(u3)
Dans votre cas particulier, a = 1/2 et vous vous limitez à l'ordre 1, donc :
(1+u) = 1 + u/2 + o(u)
donc en revenant aux notations physiques, pour da/dx "petit" :
( 1+ (da/dx)2) 1 + (da/dx)2/2Merci beaucoup pour votre aide.
Votre exemple est très clair et j'ai compris l'application de mon cours.
Mais j'ai une dernière question:
Vous avez dit:
Dans votre cas particulier, a = 1/2 et vous vous limitez à l'ordre 1
Est-ce que ça veut dire qu'on peut se limiter à l'ordre que l'on veut?
Et encore merci pour votre aide.
P.S: En ce qui concerne les liens, j'y ai jeté un coup d'œil, mais je n'ai malheureusement pas le temps de me pencher plus sur la question. Mais merci quand même.
Si une fonction est dérivable n fois au voisinage d'un point et si la dérivée n-ième est continue, le dl au voisinage de ce point existe jusqu'à l'ordre n.
La fonction (1+x)a est indéfiniment dérivable au voisinage de 0 , et on peut donc avoir des dl avec autant de termes que l'on veut.
Par exemple, à l'ordre 2 :
(1+u) = 1 + u/2 - u2/8 + o(u2)
Et à l'ordre 3 :
(1+u) = 1 + u/2 - u2/8 + 3u3/48 + o(u3)
Bon courage...
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