Dans les formulaires de développements limités usuels, le terme général d'ordre n est explicité; il permet de calculer le terme d'un ordre quelconque.

Pour Arcsin et Arcos, tu peux utiliser le fait que arcsin'(x) = (1-x)^(-1/2)

ensuite, tu connais le développement limité de
x->(1+x)^a                
pour a réel (il faut utiliser la formule de taylor, mais c'est plus facile comme ça)

et ensuite tu intègres le DL en remplaçant bien sûr a par -1/2 et x par -x.
De même pour arcos.

Pour arctan, il y a plus simple

arctan'(x) = 1/(1+x²)

tu connais bien sûr le DL de 1/(1-x)  [somme des x^n]
tu remplaces donc x par -x² et tu intègres.

ah ok merci beaucoup

par exemple le DL en 0 de arccos(x) à l'ordre 7 :

on a arccos'(x)=-(1+(-x²))^-1/2

(1+x)^-1/2=1-(x/2) -(3x²/8) -(5x³/8) +o(x³)

d'où (1+(-x²))^-1/2=1 +(x²/2) + (3x⁴/8) + (5x⁶/8) +o(x⁶)

du coup arccos(x)=(/2) -x -(x³/6)- (3x⁵/40) -(5x⁷/56) +o(x⁷)

?

Bonjour,

justement moi ce que j'ai pas encore compris c'est d'où vient le Pi/2)

Bonjour Houm !

Une primitive est définie à une constante additive près : la dérivée
de est mais si on intègre , on trouve , en
sous-entendant que l'on peut ajouter n'importe quelle constante.
Ici, la constante vaut 3 pour retrouver notre fonction initiale.

Dans le cas du DL de arccos(x) obtenu par primitive, il faut prendre en compte la constante arccos(0) = pi/2...
Le développement limité d'une fonction commence par .

Thanks Jalex je vois mieux, effectivement c'est visible sur la définition du DL