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développement limité
Souci pour finir un exos ! Je vous présente l'énoncé !
On pose ,
= ln
et
= ln
Il me faut tout d'abord effectuer un développement limité à l'ordre 2 en 1/n de (wn+1-wn) et de (vn+1-vn)
et en déduire que les suites (wn) et (vn) sont monotones à partir d'un certain rang.
Démarrons par wn+1 - wn !
en bricolant sur tout ça j'arrive à >> 1 + (n+ 1/2) [ ln(n) - ln(n+1)]
Voila mon résultat pour wn+1 - wn.
Par suite pour le développement limité je pose x0 = 1/n puis n = 1/n +h soit h = n- 1/n . J'ai changé les variable dans mon résultat et j'effectue le DL avec (n- 1/n) pour pouvoir utiliser les formules de DL en 0.
Comment vous semble mon résultat ? et mon raisonnement ?
J'arrive alors enfin avec une longue addition de terme qui me semble pas très exacte surtout pour en déduire que la suite est monotone ... ( Que dois-je exactement trouver à mon DL pour pouvoir en déduire de sa monotonie ? un réel qui ne dépend pas de n ? )
Merci de conduire un peu mon chemin ...
je trouve alors wn+1 - wn = -1 + 1/4n²...
le résultat est-il correct ?
comment puis-je en déduire la monotonie de la suite ? ( je m'attendais à trouver un résultat indépendant de n)
en fait c'est à partir d'un certain rang ! Donc vu que ce qui dépend de n tend vers 0 on a bien une suite monotone qui tend vers -1 ?
Une fois que j'ai démontré que mes deux suites sont convergentes, j'en déduis que par le calcul des développement limités, Les limites existes, donc mes deux suites sont convergentes. Cependant comment puis-je en déduire la convergence de ma suite Un ?
je ne sais pas si ln(u_n) converge ! si c'est le cas cela me suffit pour conclure ! car un = ln(w_n) avec w_n qui cv ! Est-ce le cas ? si oui je ne vois pas comment le justifier, tel est ma question ! ( par avance merci )
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