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Développement limité
Bonjour,
j'ai noté une démonstration de l'unicité du développement limité sur mon cahier, mais je pense mal l'avoir recopié, pourriez-vous m'indiquer les éventuelles erreurs ou détails à apporter ?
Proposition : Soit : I
, I étant un intervalle ouvert, et a 
I. Si admet un DLn(a), alors ce développement limité est unique.
Preuve : Supposons par l'absurde que :
(x) =
0+1(x-a)+...+n(x-a)n + (x-a)n
(x-a) (x) =
0+1(x-a)+...+n(x-a)n + (x-a)n(x-a)
et 
0
jn tel que j
j.
Soit j0 le plus petit j tel que jj.
Comme 0=0=f(a) 
j0>1.
Donc 0=0, 1=1, ..., n=n
Il me semble qu'elle manque d'articulations, ou d'éléments.
merci
Hors sujet : Que signifie la notation n[X] dans "P n[X]" (et de manière générale) ?
à mon avis t'as loupé un sacré morceau de la démonstration !
à partir du j0 = inf (j ; j j}
tu as i=i pour tout i, 0ij0
et donc en reportant dans tes deux écritures de f(x) et en simplifiant
j0 (x-a)j0 + ... + (x-a)n(x-a)
=
j0 (x-a)j0 + ... + (x-a)n'(x-a)
tu divises dans les deux membres par (x-a)j0
puis tu fais x=a
et tu obtiens j0 = j0
donc contradiction
donc tous les alpha sont égaux à tous les bétas
polynôme formel : ben c'est ça (j'ai cru comprendre que cela te décoiffait d'avoir des définitions simplifiées qui étaient ensuite affinées... pour aider à la compréhension ! alors je te donne la vraie définition mathématique)
Je penserais pas que ça choquerait 
Mon but est de dire que quand tout est clair la compréhension suit (sauf si des lacunes l'empêchent)
Ok donc ej vois pour polynôme formel en X , X correspond donc à tout type d'inconnue (x-a), x etc.. merci
Je vais retravailler la dém
en fait cela signifie que les puissances de X sont là pour formaliser la chose et rendre plus pratiques les opérations... un polynôme de degré n n'étant après tout que la donnée d'un (n+1)-uplet de nombres
tu as
i=i pour tout i, 0ij0ce n'est pas plutôt une inégalité stricte pour le second membre de l'inégalité : i<j0 ?
j0 (x-a)j0 + ... + (x-a)n(x-a)
=
j0 (x-a)j0 + ... + (x-a)n'(x-a)
tu divises dans les deux membres par (x-a)j0
puis tu fais x=a
Que fait-on ensuite des dénominateurs en (x-a)j0 ? Comment je les élimine ?
Rebonjour,
J'ai essayé de refaire la démonstration, est-ce qu'elle est bonne ?
Preuve : Supposons par l'absurde que le DLn(a) de n'est pas unique. Notons (H) cette hypothèse. D'après (H),
admet au moins deux DLn(a) distincts. Ecrivons deux DLn(a) distincts :
(x) =
0+[sub]1[/sub](x-a)+...+n(x-a)n+(x-a)n(x-a)
(x) =
0+[sub]1[/sub](x-a)+...+n(x-a)n+(x-a)n'(x-a)
D'après (H), 0jn tel que jj.
Soit j0=inf(j, jj).
On a donc : 
0i<j, i=i.
Les deux DLn(a) s'écrivent donc :
j0(x-a)j0+...+n(x-a)n+(x-a)n(x-a) = j0(x-a)j0+...+n(x-a)n+(x-a)n'(x-a).
D'où, en divisant les deux membres de l'égalité par (x-a)j0, on obtient :
Soit encore
Par identification des coefficients, on obtient : j0=j0
Pour le reste, je suppose que l'on dit : "Et ainsi de suite jusqu'à obtenir 00n, j=j, ce qui contredit notre hypothèse (H). cqfd"
Merci de m'aider
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