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développement limité

Posté par
ferenc 28-12-11 à 16:31

Bonjour,
à supposer que f\in\mathcal{C}^\infty(I)
Si f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+o(|x-a|^n), qu'est-ce qui est o(|x-a|^n) ?

1) \sum_{\bold{k=n+1}}^\infty \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k

2) ou bien f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k

Posté par
ferencdéveloppement limité 28-12-11 à 16:32

Bonjour,
à supposer que f\in\mathcal{C}^\infty(I)
Si f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+o(|x-a|^n), qu'est-ce qui est o(|x-a|^n) ?

1) \sum_{\bold{k=n+1}}^\infty \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k

2) ou bien f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k

*** message déplacé ***

Posté par
perroquetre : développement limité 28-12-11 à 18:20

Bonjour, ferenc

C'est la réponse 2).
La série définie dans la réponse 1) peut être divergente.

Posté par
ferencre : développement limité 28-12-11 à 18:30

ok merci perroquet, mais à priori si on divise l'expression 1) par |x-a|^n, on a que:
\lim_{x\to a}\frac{\sum_{k=n+1}^\infty \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k}{(x-a)^n}=0 donc en soit elle pourrait être aussi o(|x-a|^n), qu'en pensez vous ? Pourriez vous me donner un exemple ?
merci

Posté par
perroquetre : développement limité 28-12-11 à 18:48

Si la série \sum \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k est convergente pour tout x dans un voisinage de a, il est exact que:
\displaystyle\lim_{x \to a}\frac{\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k}{(x-a)^{n}}=0

Mais il est possible que la série définie ci-dessus soit divergente. Je n'ai pas d'exemple simple à proposer pour une telle fonction.



De plus, il existe des fonctions f de classe C^{\infty} sur \mathbb R telles que:
\displaystyle f(x)\neq \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k   pour tout x non nul.
Par exemple la fonction f définie sur \mathbb R par f(x)=\exp\left(-\frac{1}{x^2}\right) pour x non nul et f(0)=0

Posté par
ferencre : développement limité 28-12-11 à 18:56

1) Mais \sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)(a)}}{k!}(x-a)^k converge vers f(x), on a donc nécessairement que \sum_{k=n+1}^\infty\frac{f^{(k)(a)}}{k!}(x-a)^k qui converge, non ?

2 je pensais que si \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=0 alors nécessairement f(x)=o(g(x)) si x\to a. Donc peut importe que f converge en a, ce qui compte c'est que \lim_a\frac{f}{g}=0, non ?

Posté par
perroquetre : développement limité 28-12-11 à 19:16

Pour le point 1):
il n'y a convergence que si f est développable en série entière au voisinage de a.
Et il existe des fonctions qui sont de classe C infinie et qui ne sont pas développables en série entière (j'en ai donné un exemple dans mon post de 18h48).

Pour le point 2):
je n'ai rien à redire sur ce qui est écrit.

Posté par
ferencre : développement limité 28-12-11 à 19:45

merci beaucoup !!!
bonne soirée


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