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développement limité d'ordre n
Bonjour,
pouvez vous m'aider pour cet exercice svp?
En voici l'énoncé:
Soit f la fonction suivante:
f va de ]0, pi/2[ et f:x > 1/sin(x) - 1/x
1) Montrer que f est prolongeable par continuité en 0
2) Ce prolongement est il de classe C1?
Pour la 1) je dois calculer la limite de f(x) lorsque x tend vers 0 grace au DL d'ordre 1 en 0 et le comparer à f(0) mais j'ai 2 problemes: je n'ai pas f(0) et je n'arrive pas à calculer le DL de f en 0 car le dénominateur s'annule en O
Pour la 2) il faut que je calcule f' apres avoir montré grace à 1 que f est dérivalble et la encore calculer le DL(0,0) de f pour étudier la continuité de f' en O mais le meme problème persiste je n'arrive pas à calculer un DL en 0 lorsque le dénominateur s'annule en 0.
Merci
pour la 1) je serai tenté de mettre sous même dénominateur, on obtient donc:
f(x)=(x-sinx)/(x.sinx)
Avec les DL je trouve un équivalent du numérateur qui est (x^3)/3! + o(x^3)
un équivalent du dénominateur est x².
En divisant on obtient lim(x>0) f(x)= x+o(x) ce qui fait 0 en zéro mais je pense que cela est faux...
ce qui fait 0 en zéro mais je pense que cela est faux...
C'est tout-à-fait juste
En posant f(0)=0 on peut ainsi prolonger f en une fonction continue sur R.
Quant au caractère C1, le problème se situe en 0. Calcule f' et essaie d'en tirer une limite.
C'est exact 
Tu viens de démontrer que f '(0) existe, et vaut 1/6. Grâce à une propriété de cours (théorème de prolongement des fonctions de classe C1 me semble-t-il) on pourra conclure.
Oubliez le f'(0)=0 c'est n'importe quoi!
Par contre pour le DL je trouve 1/sin(x) - 1/x= (x-sin(x))/(xsinx)
un DL de x-sinx est (x^3)/3! + o(x^3)
donc x-sinx est équivalent en zéro à (x^3)/6
de plus xsinx est équivalent à x²
Donc f(x) est équivalent en 0 à x/6
comment fais tu pour trouver le DL dans son ensemble et non des équivalents??
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