Bonjour tout le monde. J'ai fait un exercice sur les DL mais j'ai besoin juste d'une vérification (pour voir justement si mon DL est correct)

Voila la question:

Former le développement limité à l'ordre 4 au voisinage de 0 de la fonction f(x)=(x²)/tan(x)


Voila ce que j'ai fait:


f(x)=(x²)/tan(x) = (x^é)/[sin(x)/cos(x)] = x²cos(x)sin^-1(x)


Je fais d'abord le DL de sin^-1.

sin(x) = x - (1/6)x³ + x⁴ = x(1 - (1/6)x² + x³)

d'où: sin^-1(x) = (1/x)(1 + (1/6)x² + (1/36)x⁴ + x⁵)



Je fais maintenant le DL de cos.

cos(x) = 1 - (1/2)x² + (1/24)x⁴ + x⁴


D'où en multipliant les DL on a:

f(x) = x(1 + (1/6)x² + (1/36)x⁴ + x⁴)(1 - (1/2)x² + (1/24)x⁴ + x⁴)

f(x) = x(1 - (1/2)x² + (1/6)x³ + x³)

Au final on a:

f(x) = x - (1/2)x³ + (1/6)x⁴ + x⁴


Je voudrais juste savoir si mon raisonnement et mon DL sont correcte.

Merci d'avance.


Au final f(x) = x +