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Développement limité de exp(sin(x))
Bonjour à tous !
J'ai fait un tit exercice sur un livre : calculer le DL 3 (0) de exp(sin(x))
J'ai trouvé la réponse : DL 3 (0) exp(sin(x))= -3 -5x-4x^2-4x^3+o(x^3) mais le livre donne la réponse : exp(sin(x))=1+x+(x^2)/2+o(x^3) !
Je comprends pas... Merci.
Tu as raison, j'ai trouvé. 
Merci.
Heu, encore un souci avec DL3(0) de e^()
J'ai écrit :
On pose u=, on a alors e^u.
=1+x/2-(x^2)/8-(x^3)/16+o(x^3)
e^u=1+u+(u^2)/2+(u^3)/6+o(x^3)
D'où,
e^()=1+1+x/2-(x^2)/8-(x^3)/16+o(x^3)+((1+x/2-(x^2)/8-(x^3)/16+o(x^3))^2)/2+((1+x/2-(x^2)/8-(x^3)/16+o(x^3))^3)/6+o(x^3)
Ca devient compliqué...
e^u = 1+ u+...est valable quand u tend vers 0 mais ici u = rac(1+x) et x tend vers 0 donc u tend vers 1 .
Ne pas oublier que le premier terme de ton DL ..c'est la limite de la fonction donc ici e^(rac(1+x)= e + autre termes
Eh bien, je sais que exp(rac(1+x)) tend vers e mais je ne vois pas quel rapport avec le DL.
DL 3 (0) de rac(1+x) = 1+x/2 - (x^2)/8 +(x^3)/16 +o(x^3)
Est-ce exact ???
Sachant que DL de exp(x)=1 +x + (x^2)/2! + ... + (x^n)/n! + o(x^n)
On remplace x par 1+x/2 - (x^2)/8 +(x^3)/16 +o(x^3). Pourquoi le DL commence par e ???
Si f(x) = a + bx + o(x) au voisinage de 0 c'est que quand x tend vers 0 f(x) tend vers a non ?
(1+x)^a = 1 + ax + (a)(a-1)/2 x^2 + (a)(a-1)(a-2)/3 x^3 + o(x^3) donc OK pour ton premier calcul.
OK pour ton expression de 22h04 aussi mais en fait il suffit d'isoler le e du début et comme x/2 -x^2/8 etc...tend vers 0 là tu peux remplacer directement .
e ( exp(x/2 -x^2/8 ...= e( 1+ x/2 -x^2/8 + x^2/4 +.... je te laisse continuer
Résultat :
= e +xe/2 + (x^2)e/8 + (x^3)e/16 + o(x^3)
Mais le corrigé donne :
= e +xe/2 + (x^3)e/48 + o(x^3)
Où est passé le (x^2)e/8 ?
Ou le corrigé est pas correct ?
http://mpsiddl.free.fr/exosup.php dans l'exercice 2, d)
C'est résolu ! lol
Mais j'ai essayé d'en résoudre un autre, pas réussi !
Calculer DL3(0) de ln ( 1 + e^x)
On pose u = e^x
Alors ln (1 + u)
DL 3 (0) de e^x = 1 + x + (x^2)/2 + (x^3)/3 + o(x^3)
DL 3 (0) de ln (1 + u) = u - (u^2)/2 +(u^3)/3 + o(u^3)
On remplace u par 1 + x + (x^2)/2 + (x^3)/3 + o(x^3) :
DL 3 (0) de ln (1 + e^x) = 5/6 + autres termes.
J'ai vérifié avec le corrigé et mon résultat est faux car le DL commence par ln2...
Désolé si je t'embête... :S
C'est normal que ça commence par Log(2) pour la même raison qu'avant.
Attention si tu poses u =e ^x ton u ne tend pas vers 0 (même faute qu'avant) tu peux pas développer .
Log(1+ e^x) = Log(1+ 1 +x + x^2/2 + x^3 /6 + o(x^3)) =
Log( 2) + Log( 1+ x/2 + x^2/4 + x^3/12 + o(x^3)) et là u =x/2+x^2/4 etc...est justifié .
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