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Développement limité de fonctions trigonométriques

Posté par
Barmalyon 26-01-10 à 15:49

Bonjour,

J'ai un exercice sur les développements limités. A l'une des questions, je dois déterminer
un équivalent simple en 0^{+}de:
\frac{1}{sqrt{sin x}}-\frac{1}{sqrt{tan x}}
et j'avoue avoir quelques problèmes.
Je pensais passer par un DL_2(0). Mais je n'aboutis pas.

Merci.

Posté par
Camélia Correcteurre : Développement limité de fonctions trigonométriques 26-01-10 à 15:58

Bonjour

Il s'agit bien de développemets limités. Mais on peut commencer par remarquer que

\frac{1}{\sqrt{\sin(x)}}-\frac{1}{\sqrt{\tan(x)}}=\frac{\sqrt{\cos(x)}-1}{\sqrt{\sin(x)}}

et là le premier terme non nul arrive assez vite!

Posté par
Galiléere : Développement limité de fonctions trigonométriques 26-01-10 à 15:59

Bonjour Barmalyon,

il faudrait faire un DL 3 en 0

Posté par
rhomarire : Développement limité de fonctions trigonométriques 26-01-10 à 16:05

bonsoir Camélia
petite rectification au niveau du signe -

Posté par
Camélia Correcteurre : Développement limité de fonctions trigonométriques 26-01-10 à 16:12

Salut rhomari; en effet, c'est l'opposé!

Posté par
MatheuxMatoure : Développement limité de fonctions trigonométriques 26-01-10 à 17:20

bonjour

rectifiez-moi si je me trompe... mais si on cherche juste un équivalent, les limites classiques (1-cos(x))/x² et sinx/x suffisent il me semble

la transformation amorcée par Camélia (rectifiée ensuite) nous donne
f(x) = \frac{1-\sqrt{cos(x)}}{\sqrt{sin(x)}}=\frac{1-cos(x)}{\sqrt{sin(x)}(1+\sqrt{cos(x)})}
et cela donne
\frac{f(x)}{x^{3/2}} = \frac{1-cos(x)}{x^2}\sqrt{\frac{x}{sin(x)}}\frac{1}{(1+\sqrt{cos(x)})}

ce qui tend vers 1/4

finalement f(x) est équivalent en 0 à x3/2/4

Posté par
Barmalyonre : Développement limité de fonctions trigonométriques 26-01-10 à 18:25

Effectivement, x3/2/4 me semble être un bon équivalent.
Merci!


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