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Développement série entière de arctan

Posté par
H_aldnoer 22-01-10 à 16:47

Bonjour,

je souhaite redémontrer l'égalité suivante : 3$ \arctan(x)=\bigsum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1} pour 3$ x\in [-1,1].
J'ai un théorème qui me dit la chose suivante :

si 3$ \sum f_n est une série de fonctions continues par morceaux et intégrables sur un intervalle 3$ I qui converge simplement vers une fonction 3$ f continue par morceaux sur 3$ I telle que la série 3$\sum\int_I |f_n(x)| dx converge alors 3$ f est intégrable sur 3$ I, la série 3$\sum\int_I f_n(x)dx converge et on a l'égalité :

3$ \sum_{n=0}^{+\infty}\int_I f_n(x)dx = \int_I \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)dx

Connaissant 3$ \frac{1}{1+x^2}=\bigsum_{n=0}^{\infty} (-1)^nx^{2n} pour 3$ x\in ]-1,1][, je voulais utiliser ce théorème. Mais je retombe à chaque fois sur la série harmonique pour vérifier l'hypothèse "3$\sum\int_I |f_n(x)| dx converge". Donc ça ne marche pas !

J'ai vu la démonstration avec la majoration du reste, mais j'en voudrais une autre du type "intégration terme à terme". Help! Merci!

Posté par
Camélia Correcteurre : Développement série entière de arctan 22-01-10 à 17:06

Bonjour

La série à intégrer est \sum(-1)^nx^{2n}. Elle converge absolument sur tout intervalle de la forme [-r,r] avec 0 < r < 1. C'est là que tu appliques ton théorème...

Tu trouves le développement de arctan sur [-r,r] mais comme r est aussi près de 1 que l'on veut, en fait le développement est vrai sur ]-1,1[. C'est faux en -1 et on y arrive difficilement en 1.

Posté par
H_aldnoerre : Développement série entière de arctan 22-01-10 à 18:47

Soit donc r dans ]0,1[ alors j'ai 3$ \Bigint_{-r}^r |f_n(x)|dx = [\frac{x^{2n+1}}{2n+1}]_{-r}^r=\frac{2r^{2n+1}}{2n+1}. Pourquoi la série 3$ \Bigsum_{n\ge 0}\frac{2r^{2n+1}}{2n+1} converge

Posté par
H_aldnoerre : Développement série entière de arctan 22-01-10 à 19:56

Je crois que c'est le critère de d'Alembert pour les séries entières ? 3$ \Bigsum_{n\ge 0}\frac{2r^{2n+1}}{2n+1} = \Bigsum_{n\ge 0}a_nr^{2n+1} avec 3$ a_n = \frac{2r^{2n+1}}{2n+1} et 3$ |\frac{a_{n+1}}{a_n}| qui tend vers 1 lorsque n tend vers 3$ +\infty. Donc le rayon de convergence de la série entière est 1, et comme 3$ |r|<1, on a bien convergence!

Posté par
Camélia Correcteurre : Développement série entière de arctan 23-01-10 à 14:18

Oui, c'est ça! Mais tu n'as pas besoin de démontrer la convergence! Le théorème t'assure que la série des primitives converge! (enfin, à condition qu'elle converge en un point qui ici est évidemment 0)

Posté par
H_aldnoerre : Développement série entière de arctan 24-01-10 à 18:30

Merci!


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