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développements limités
Bonjour,
Je travaille sur une correction d'exercice et je ne la comprends pas.
L'objet de l'exercice est l'étude de la nature d'une série numérique et au cours de cette étude, on a 
(1 - (1/n²)).
La correction donne "en utilisant le DL en 0 de la fonction x
(1+x)^(1/2), on obtient :
(1 - (1/n²)) = 1 + (1/(2n²)) + o(1/n^3)
Voilà ce que je ne comprends pas :
1) Pour passer de (1 + x)^(1/2) , je dois bien poser x = -(1/n²) ? Mais alors pourquoi est ce que je n'obtiens pas en DL : 1 - 1/(2n²) ?
2) Pourquoi est ce o(1/n^3) et pas o(1/n²) ? Est ce que j'ai le droit de "jouer" avec ces puissances dans le "o" juste parce que ça m'arrange pour la suite ?
Merci pour votre aide !
Sophie
Bonjour,
Le DL de (1+x)^(1/2) conduit bien à car la fonction de n étant paire, le coefficient de
est nul.
Bonjour
Déjà merci pour le DL, c'est donc une coquille du corrigé. (je n'ai plus fait de maths de ce niveau depuis lgtps et je ne suis pas sûre de moi du tout !!)
Ensuite pour le o(1/n^3) : ça veut donc dire que je peux, dans ce cas, parce que c'est une fonction paire, écrire indifférement o(1/n²) ou o(1/n^3) ?
parce que quand je regarde la "formule" pour le DL de (1-x) d'ordre n, cela se termine par o(x^n) et pas o(x^(n+1))
Sophie
bonjour
si tu fais un DL à l'ordre 2, tu trouves
rac(1-x²) = 1 + 0*x - x²/2 + o(x²)
si tu fais un DL à l'ordre 3, tu trouves :
rac(1-x²) = 1 + 0*x - x²/2 + 0*x3 + o(x3)
quand le temre d'ordre "cube" a un coefficient nul, un DL2 devient un DL3
Bonjour
J'insiste lourdement, mais je veux vraiment comprendre :
quand tu dis que "quand le temre d'ordre "cube" a un coefficient nul, un DL2 devient un DL3" est ce que c'est une obligation ou une possibilité ?
C'est à dire est ce que c'est faux si j'écris :
rac(1-x²) = 1 + 0*x - x²/2 + o(x²)
avec arrêt en x² ?
Il se trouve que ds l'exo, ça m'intéresse d'aller jusqu'en 1/x^3 parce qu'après je dois multiplier par x et ajouter avec un autre DL qui s'arrête en x².
Mais ds l'absolu, est ce que je peux écrire indifféremment (j'ai bien compris que c'est du au fait que le coeff est nul) o(1/x²) ou o(1/x^3) ?
Désolée d'etre aussi bouchée !!
Sophie
Oui tu peux répondre indifféremment rac(1-x²) = 1 - x²/2 + o(x²) et rac(1-x²) = 1 - x²/2 + o(x^3), les deux sont justes.
ton DL2 est bon aussi !
bon...
tu es d'accord que quand on a un DL, il est facile d'en obtenir un d'ordre inférieur... il suffit de "tronquer" le précédent...
par exemple, si on a obtenu
f(x)=3 - 5x + x²/7 - x3 + 4x4 + o(x4)
alors f(x)=3 - 5x + x²/7 - x3 + o(x3)
et f(x)=3 - 5x + x²/7 + o(x²)
oui ?
prends le DL d'ordre 2 de racine(1-u)
et déduis-en un DL d'ordre 4 de racine(1-x²)
(en posant u=x²)
tu obtiens quoi ?
Ok pour la troncature.
DL de racine (1 - u) = 1 - (1/2) u - (1/8) u² + o(u²)
DL de racine de (1 - x²) = 1 - (1/2) x² - (1/8)x^4 + o(x^4)
C'est juste ?
Pour savoir si j'ai compris : ds le premier je ne peux pas écrire o(u^3) à la place de o(u²) car le terme en u^3 a un coeff non nul alors que ds celui avec x², j'aurais pu finir par o(x^5) car son coeff (celui de x^5) est nul puisque je n'ai que les puissances paires ?
Sophie
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