salut

à quoi ça sert de parler d'une fonction définie en un point ?

f admet un dl d'ordre 1 en a <==> f(x) = L + o(1)  où o(1) désigne une fonction de limite nulle quand x tend vers a  (et x a éventuellement)

donc f admet une limite en a

si a est fini on peut alors prolonger par continuité f en a en posant f(a) = L


f admet un dl d'ordre 1 en a <==> f(x) = L + d(x - a) + (x - a)o(1)

donc tout d'abord f est continue en a

et ensuite [f(x) - L]/(x - a) = d + o(1)

donc en passant à la limite f'(a) = d ....

évidemment que non je suppose, car la limite peut être finie comme infinie.

pour parler de dl en a il faut une limite finie ...

un dl est simplement écrire f comme une combinaison linéaire des fonctions x --> xⁿ avec n entier naturel augmenté d'un reste o(1) vérifiant ....

l'ordre du dl est simplement le degré du polynome combinaison linéaire des fonctions puissances ...

si L =

f s'écrit comme combinaison linéaire des fonctions x --> (x - a)^-n lorsque a est finie ....

Salut,

Pourquoi f doit avoir une limite finie en a si on veut parler de dl(a) ?

Et je ne saisis pas comment cela se fait que pour L = , on a f qui s'écrit comme combinaison linéaire des fcts x(x-a)^-n ? le -n en exposant me trouble

Merci d'avance pour ton aide

si la limite en un réel fini est infinie ... regarde simplement f(x) = 1/(x-a)ⁿ ...


suppose que f(a) = et tu veux calculer la dérivée de f en a (fini)

tu calcules donc la limite du rapport [f(x) - f(a)]/(x - a) ... qu'en penses-tu ?

donc pour calculer un dl de f en a il faut (au moins) que f(a) existe .....

oui je comprends que calculer la dérivée de f en a revient à calculer la limite du quotient que tu as donné; mais je suis plus ou moins confus par rapport à cette notion car  pourquoi devoir parler de dérivée ?

f est dérivable <==> f admet un dl d'ordre 1

....

Et pourquoi regarder f(x)= ? cela nous obligerait à distinguer le cas n pair impair, positif négatif etc.. et bref même si je vois que la limite ressemble à dans tous les cas, je ne comprends pas pourquoi étudier ce cas

f(x)= pardon

n*

Oui, justement, c'est démontrer cette équivalence que j'essaie de comprendre

cette équivalence est une définition ....


f est dérivable en a :: (f est continue en a (donc f(a) existe) et) et le taux de variation [f(x) - f(a)]/(x - a) admet une limite finie L quand x tend vers a


f admet un dl d'ordre 1 en a :: il existe un réel A et une fonction o de limite nulle en 0 telle que au voisinage de a f(x) = f(a) + A(x - a) + (x - a)o(x - a)


il est aisé (cours de terminale) de montrer l'équivalence de ces deux définitions ....

Je ne comprends pas quelque chose aussi, pourquoi f(x) = ₀+₁(x-a)+(x-a)(x-a) ₀=f(a)

(ce quelque chose là qui m'empêche de comprendre l'équivalence)

pardon ::


f admet un dl d'ordre 1 en a :: il existe deux réels A  et B et une fonction o de limite nulle en 0 telle que au voisinage de a f(x) = B + A(x - a) + (x - a)o(x - a)

il est de montré l'équivalence et alors A = f(a) et B = f'(a) ....

admet un DL₁(a) (x)=₀+₁(x-a)+(x-a)(x-a) , où est telle que , et ₀,₁ .

est dérivable en a où f'(a)=l, l

Et comment de ces deux équivalences montrer ce que je veux ?

merci

f(x) = A + B(x - a) + (x - a)o(x - a) = A + (x - a)(....)

et par définition de o elle est bornée au voisinage de a

donc f(x) tend vers A quand x tend vers a et f(x) tend vers f(a) .... conclusion ... donc f(a) = A

par conséquent

[f(x) - f(a)]/(x - a) = B + o(1)

le membre de gauche tend vers f'(a) par définition
le membre de droite tend vers B ...

donc f(a) = B

c'est simplement manipuler la définition exacte du terme limite qui permet de montrer cette équivalence


à toi de faire la réciproque ....

donc f'(a) = B ....

D'accord donc si je comprends bien on utilise le résultat que f admet un DL₀(a) f admet une limite en a pour démontrer f admet DL₁(a) f dérivable en a

Mais pourquoi la première équivalence ?

ben c'est nécéssaire !!!!

pour avoir un dl d'ordre 1 il est nécessaire d'avoir un dl d'ordre 0 .....

f admet un dl(0) en a <==> f est continue en a .....




et pour être dérivable il faut être continue ....

d'accord, peut-on prouver l'équivalence pour l'ordre 0 aussi ?

donc

si f est dérivable alors f est continue ....


réfléchis à ces implications et aux proriétés qui sont nécessaires ou (exclusif) suffisantes ..

ben bien sur :: je te l'ai fait à 18h44 avec un dl(1) ...

écris le avec un dl(0) ...

qui sont nécessaire pour démontrer f admet DL₀(a) f admet une limite en a ?

Je sais que si f admet DL₁(a) alors f admet DL₀(a) mais je ne sais pas pourquoi f admet DL₀(a) f admet une limite en a
La réponse est dans tes posts ?

(au cas où c'est ça qui a amené les smileys)

les deux citations sont indépendantes ...


je te demande de réfléchir à ce qu'est une "propriété suffisante" et une "propriété nécessaire" et leur différence ...

pour avoir un dl(0) il suffit d'avoir un dl(1)

pour avoir un dl(1) il est nécessaire d'avoir un dl(0)


une fonction peut avoir un dl(0) ET pas de dl(1)

si une fonction n'a pas de dl(0) alors elle n'a pas de dl(1)


....

Une propriété nécessaire pour satisfaire une proposition est une propriété qui est obligatoirement vraie si la proposition est vraie et vice versa.

Une propriété suffisante pour satisfaire une proposition signifie que si cette propriété est vraie, la proposition l'est par la même occasion, mais la proposition peut être satisfaite sans que la propriété ne le soit.

ya pas de vice versa d'ailleurs

Oui d'accord je saisis cela

Quant à l'équivalence f admet une limite ssi elle admet un DL0(a) , comment comprendre sa démonstration ? désolé si tu l'as déjà faite je m'excuse de ne pas l'avoir repéré dans ce cas-là

f admet un dl(0) en <==> _{^{par définition d'un dl(0)}}

f(x) = L + (x-a)o(x-a) <==> _{^{par définition de la limite en a}}

lim f(x) = f(a) et lim f(x) = L <==>

f(a) = L

d'accord; mais pourquoi a-t-on

c'est la définition de f continue en a

et  

Pourquoi f serait continue en a ?

Si on prend la fonction partie entière sur l'intervalle [1;3[ et qu'on s'intéresse au point d'abscisse x=2 comment fait-on ?

Il suffit de raccorder la fonction f en 2 ? (je ne sais pas si raccorder signifie prolonger par continuité ?)

je me rectifie : certaines fonctions ne sont d'ailleurs pas continûment prolongeable en a, ce qui exclut l'hypothèse selon laquelle un raccordement en un point impliquerait la continuité en ce point.

Donc finalement quel élément me permet de dire que f est continue en a ? ce qui permettrait effectivement de dire que lim(x-->a)f(x)=f(a)

fest continue en a

<==> _{^{définition continuité}}

f existe en a et lim f(x) = f(a)

<==> _{^{définition limite}}

f(x) = f(a) + o(1)

<==> _{^{définition d'un dl(0)}}

f admet un dl(0) en a

J'admettrais bien cette équivalence finalement mais puisque tu me faix cette explication il me manque plus qu'un élément pour comprendre :

Pourquoi la définition de la limite d'une fonction f en a nous donne f(x)=f(a)+o(1)
pourquoi ce reste o(1) justement ?

f admet la limite L en a <==> f(x) = L + o(1)

je ne dis pas que f(a) = L ni même que f soit définie en a ....
mais L est unique ...(quand il est fini bien sur ...)


f admet un dl(0) en a <==> f(x) = f(a) + o(1)


implicitement f(a) existe (donc f est définie en a) et il est unique .... ie. f(a) est unique !!! or c'est la définition d'une fonction ...!!!



par définition de o(1)  ::: fonction de limite nulle en a ..


on a forcément que L = f(a) .....