Niveau terminale

devoir maison de maths pour mardi sur les fonctions

Posté par marinou (invité) 15-09-07 à 16:32

bonjour à vous tous,
je bute sur les deux exercices de mon DM. En espérant que l'on pourra m'aider!
Merci d'avance

Exercice 4:
On considère les fonctions f_{[/sub]m telles que f[sub]}m(x)=x[sup][/sup]3-mx²+2mx-1 (m), on note C_{[/sub]m la représentation graphique de f[sub]}m.

1° a/ Déterminer les coordonnées des points d'intersection, A et B, des courbes C_{[/sub]0 et C[sub]}2.
   b/ montrez que les points A et B appartiennent à toutes les courbes C_{[/sub]m.

   c/ Soit M(a;b) un point quelconque du plan, discutez suivant les valeurs de a et de b, le nombre de courbes C[sub]}m passat par M.
2°    Etablir, suivant les valeurs de m, les tableaux de variation des fonctions f_{[/sub]m.

Exercice 5:

Soit f(x)=ax+b-(x²+1)

1°   Etudier, suivant les valeurs de a (relativement à-1), la limite de f en -.

2°   Déterminer les valeurs de a et de b pour lesquelles C[sub]}f admet pour asymptote la droite d'équation y=2x+2 au voisinage de -.(utiliser un résultat du 1°)

Posté par marinou (invité)c'est vraiment urgent aidez moi s'il vous plait 17-09-07 à 21:37

comme je l'ai dit précédemment j'ai déjà réalisé les trois autres exercices de mon devoir maison mais je bute sur ces deux.Est ce qu'une âme charitable pourrait m'aider?
merci d'avance

Posté par re : devoir maison de maths pour mardi sur les fonctions 18-09-07 à 10:54

Bonjour,

1a) $f_0(x)=x^3-1$ et $f_2(x)=x^3-2x^2+4x-1$

Points d' intersection:

Leurs abscisses vérifient: $x^3-1=x^3-2x^2+4x-1$

Soit $2x(x-2)=0$ qui a pour solution $x=0$ ou $x=2$

D' où les deux points d' intersection:

$A\|0\\-1$ et $B\|2\\7$

b) $f_m(0)=-1\Longrightarrow A(0,-1) \in C_m$

$f_m(2)=8-4m+4m-1=7 \Longrightarrow B(2,7) \in C_m$

c) $M(a,b)\in C_m \Longleftrightarrow f(a)=b$

soit: $a^3-ma^2+2ma-1=b$

ou bien: $ma(a-2)=a^3-b-1$ (équation en $m$ )

I si $a=0$ et $b\not=-1$

L' équation n' a pas de solutions donc aucune courbe $C_m$ ne passe par $M(0,b)$

II si $a=0$ et $b=-1$

Tout $m$ réel est solution donc toutes les courbes $C_m$ passent par $A(0,-1)$

III si $a=2$ et $b\not= 7$

L' équation n' a pas de solutions donc aucune courbe $C_m$ ne passe par $M(2,b)$

IV si $a=2$ et $b=7$

Tout $m$ réel est solution donc toutes les courbes $C_m$ passent par $B(2,7)$

V si $a\not=0$ et $a\not=2$

Alors $m=\frac{a^3-b-1}{a(a-2)}$ donc une seule courbe $C_m$ passe par $M(a,b)$ .

Posté par re : devoir maison de maths pour mardi sur les fonctions 18-09-07 à 11:26

Re,

1) $f(x)=ax+b-\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x^2})}=ax+b-|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$

On se place au voisinage de $-\infty$ donc pour $x<0$ :

$f(x)=ax+b+x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=x\left[a+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\right]+b$

si $a>-1$ la limite du crochet en $-\infty$ est $l>0$

et $\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$

si $a<-1$ la limite du crochet en $-\infty$ est $l<0$

et $\lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty$

si $a=-1$ , pour $x<0$ :

$f(x)=x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}-1\right)+b$

Posons: $X=\frac{1}{x}$

$\lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{X\to 0}\frac{\sqrt{X^2+1}-1}{X}+b$

On reconnait le taux de variation de la fonction $X:\;\mapsto \sqrt{X^2+1}$ en 0

D' où $\lim_{x\to -\infty}f(x)=\left[\frac{X}{\sqrt{X^2+1}}\right]_{X=0}+b=b$

3) Pour que la droite d' équation $y=2x+2$ soit asymptote oblique à $C_f$ en $-\infty$ , il faut que:

$\lim_{x\to -\infty} f(x)-(2x+2)=\lim_{x\to -\infty}(a-2)x+b-2-\sqrt{x^2+1}=0$

Soit, d' après la question précédente: $\{a-2=-1\\b-2=0$

C' est à dire: $\{a=1\\b=2$

Posté par marinou (invité)merci 19-09-07 à 15:05

merci beaucoup pour le coup de main! ça m'a beaucoup aidé.

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