Salut,

quelle est ta définition de la notion de limite? Plus précisément, as-tu vu la définition formelle dite "epsilonesque" ?

oui on a vu en cours cette définition

Idée rapide :

L'on a :

sssi

Par conséquent



Or, par hypothèse, , de sorte que , soit . D'où



A +

D'accord, donc comment rapprocher cette définition à la question a) et la déduction attendue dans le b) ?

salut

x² + x + 2 = (x - 1)² + 3x - 3 = (x - 1)² + 3(x - 1) ....

donc la valeur absolue d'une somme est < à la somme des valeurs absolues ....

donc ...

... < (e/4)² + 3(e/4) < e


...

Précision : Il est à noter que la petite démo perso ci-dessus est volontairement incomplète, voire quasi-fausse. Il faut que tu réflechisses sérieusement à cette question qui a un impact direct sur la question 2 à laquelle Jord te demande de répondre.

A +

@Remarque : Il est clair que tu as voulu écrire .


A +

la mienne ?


PS :: c'est évidemment ... - 2 = ....

donc c'était pour moi ...

oui et je viens de corriger voir ton post ...

pour jord ::: voila implicitement le changement de variable h = x - 1

lapsus frappae ....

@Carpediem : Non ! Je parle de la mienne, car je voudrais que l'auteur réflechisse.

A +

DHilbert: merci mais la question 1 j'ai réussi à la faire
le problème par contre c'est juste je ne n'arrive pas à faire une déduction à partir de la 1 pour répondre à la question 2 et encore moins à trouver la limite qui met en jeu le cosinus

Première chose à remarquer :

x²+x-2 = x²+x-1 - 1

Vois-tu un peu mieux le loin?

ben .... que sais-tu sur la fonction cos ....

Carpediem: que ca limite est finie quand x tend vers 1

Jord: oui si vu que la premiere limite est égale à 1 donc lim(x²+x-1-1)=0 quand x tend vers 1 c'est bien ca?
et aussi le problème c'est que j'ai calculé la limite je ne l'ai pas déduit à partir de la question 1

insuffisant pour conclure ....

Reprenons :

Tout d'abord, il faut prendre conscience du but de l'exercice, ce que tu n'as a priori pas fait au vu de ta dernière phrase.

Comme je l'ai laissé sous-entendre, scolairement, on rencontre à un moment donnée une définition formelle de la notion de limite. Avant de la rencontrer (en première année post bac ou en terminale théoriquement), on calcule les limites avec des artifices, en appliquant les règles de calculs sur les limites qu'on a à apprendre par coeur sans les justifier.

De fait, effectivement, en première, on écrit sans justifier que mais a priori, c'est presque "magique" qu'on ait le droit de remplacer x par 1.
Maintenant, comme déjà dit, on a une définition formelle de la limite qui est la définition "epsilonesque" déjà mentionnée. C'est à l'aide de cette définition qu'on peut réellement justifier que et c'est ce que propose de faire cet exercice.

Autrement dit, oui, c'est presque évident que x²+x-1 tend vers 1 en 1, parce qu'on sait depuis la première que dans un tel cas on peut remplacer la variable par 1, mais ça se justifie, et c'est ce qu'il faut faire ici.

Pour ça, donc, il faut revenir à la définition epsilonesque de la limite, à savoir qu'on dit que f(x) tend vers L lorsque x tend vers a quand :

Quel que soit E fixé, il existe un réel A tel que dès que |x-a| < A , alors |f(x)-L|<E.

Cette définition très barbare se traduit plus verbalement par "f(x) est aussi proche de L que l'on veut dès lors que x est assez proche de a".

Ainsi, ce qu'il nous faudrait montrer, c'est que quel que soit E fixé, il existe un A tel que dès que |x-1| < A, |x²+x-1 - 1| < E. Si on regarde bien, c'est exactement ce qu'on a montré dans la question 1).

Je te laisse méditer tout ça.

ah oui, c'est bon je viens de trouver le bon résultat grâce à votre aide.
Je vous en remercie et vous souhaite une bonne soirée

de rien




et comme te l'a fait remarquer Jord, il peut-être maintenant intéressant de prendre du recul et réfléchir à ce travail avec le cours ...

oui effectivement c'est une tres bonne remarque^^