Bonjour Poun

En fait, les ingrédients principaux sont les polynômes d'endomorphismes et le théorème de décomposition des noyaux.

Une équation différentielle à coefficients constants d'ordre n s'écrit avec (on le supposera donc égale à 1, par la suite). Si on pose P le polynôme et si on note D l'endomorphisme de l'ensemble E des fonctions indéfiniment dérivable, qui à une fonction f associe sa dérivée, cette équation peut se réécrire de la manière suivante :

.

Ainsi, y est solution de l'équation différentielle si et seulement si y appartient au noyau de P(D).
On factorise ensuite le polynôme P dans



où les sont les racines distinctes de P.

Les polynômes sont premiers entre eux deux à deux donc d'après le théorème de décompositions des noyaux, on a :



Ainsi, on est ramené à résoudre une équation différentielle du type
On peut montrer par récurrence sur l'entier que les solutions d'une telle équation sont exactement les fonctions qui s'écrivent sous la forme avec un polynôme de degré strictement inférieur à .

Enfin, les solutions de l'équation différentielle de départ s'écrivent donc sous la forme avec un polynôme de degré strictement inférieur à .

Kaiser

Merci beaucoup Kaiser

Mais je t'en prie !