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Difféomorphisme & résolusion d'un systeme a plusieur variable
Bonjour,
J'ai un souci sur un exo et je ne sais pas comment le resoudre.
voici l'énoncé
On a
2(-x+y²)(
²f)/(x²)(x,y)+2y(²f)/(xy)(x,y)+(²f)/(y²)=y²-x
Sur U={(x,y)
²/x>(y²/2)} en posant (x=u²+v²,y=u+v)
Montrer que ceci définit un C² Difféomorphisme entre U={(x,y)²/x>(y²/2)}
Et V (que l'on precisera) Puis resoudre
Bon la j'ai montré Que le chgmt de variable et C² et injectif. Par contre je n'arrive pa a trouvé V et resoudre 
merci d'avance
Bonsoir Hercule58,
Si tu n'as pas trouvé V tu n'a pas pu montrer que le changement de variable est injectif!
Il faut rechercher les couples (u,v) tels que x=u²+v² et y=u+v.
Quand 2x>y² il y a deux couples solutions.
Il faut prendre par exemple pour obtenir un C²difféomorphisme de U sur V.
Ensuite on pose g(u,v)=f(u²+v²,u+v) et on calcule en fonction des dérivées de f.
On obtient justement le premier membre de l'équation.
Merde alors, comment faut t(il si prendre pour montré que c'est injectif alor ??
merci d'avoir repondyu
tu dois étudier le système d'inconnues u et v
en calculant un peu on voit que u et v sont solutions de l'équation du second degré
où
et
le changement de variable est surjectif sur un domaine D tel que si pour tout une solution (u,v) existe,
le changement de variable est injectif si lorsqu'une solution (u,v) existe pour un quelconque, elle est unique.
On peut traduire cela plus clairement sans parler de (x,y)
Si
alors
Merci c'est comme cela que j'avais resonner mais mon probleme c'est de trouver ce fameux V. Et la par contre je n'ai vraiment aucune idée de comment le trouvé. Mon prof ma dit que je n'avais pas put faire injectivité sans utiliser U et V ...
Merci encore .
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