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Difference entre prolongement par continuité et continuité
Bonjour, je vais peut ètre poser une question étrange mais, y a t'il une difference entre un prolongement par continuité d'une fonction et la continuité d'une fonction ?
Par exemple quand on nous demande si f est prolongeable par continuité en 0 et si f est continue en 0. Je sais pas si c'est la même chose ou pas :S.
Merci ,bonne journée .
Bonjour
Non, ce n'est pas la même chose, prolongeable par continuité dit qu'il y a une limite, continue dit que la limite est égale à la valeur de la fonction au point en question.
La fonction définie par si
et
est prolongeable par continuité en 0, mais elle n'est pas continue en 0.
Une autre petite question. Est ce que si f est continue en 1, la fonction est forcement dérivable en 1? ( On utilise le taux d'accroissement pour voir si une fonction est dérivable en un point ou pas nan ? )
si tu prends f(x)=(x²-5x)(x-1)/(x-1) cette fonction est prolongable par continuite en x=1
g(x)=1/(x-1) n'est pas continue en x=1
Non, non, une fonction continue n'est pas forcément dérivable.
Regarde (avec le taux d'accroissement) la fonction f(x)=|x| en 0.
Euh je voulais plutot dire, est ce que si f est prolongeable par continuité en 1 alors f est dérivable en 1 ?
f(x)= x²sin pi/x par exemple avec f(o)=o
f est continue en à car lim x²=0=f(0)=0
Et elle est dérivable en 0 car
f(x)-f(0)/x=f'(0)=0
x sin pi/x < x
Mais alors f est également prolongeable par continuité en 0 non puisque f admet une limite fini non ?
( Une fonction est dérivable en un point si la limite en ce point à gauche et à droite sont égale c'est sa ) ?
Non, Il se trouve que la fonction que tu donnes est dérivable en 0 mais
qui est tout aussi prolongeable par g(0)=0, n'est pas dérivable en 0.
Je comprends pas pourquoi elle serait prolongeable en 0
f(x)-f(0)/x= sin pi/X Or lim pi/x= inf quand x=> et sin n'admet pas de limite en infini.
F(x) n'admet pas de limite fini en 0 non ?
Prolongeable en 0 veut dire que la FONCTION a une limite. C'est le cas de parce que le sinus est borné et que x tend vers 0.
C'est bien parce que le taux d'accroissement n'a pas de limite qu'elle n'est pas DERIVABLE.
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