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Différentiabilité

Posté par
scrogneugneu 27-05-09 à 15:20

Bonjour,

Je dois montrer que la fonction f définie par f(x,y)=x^2sin(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}) et f(0,0)=0 est différentiable à l'origine.

Pour ce faire, je fais comme si c'était le cas, puis je calcule les dérivées partielles.

Sauf erreurs (en fait il doit y en avoir une), je trouve que \partial_1f(0,0)=0 et \partial_2f(0,0)=0

Je considère alors l'application \lambda_{(0,0)} définie par \lambda_{(0,0)}(h,k)=0

Il reste à montrer que \lim_{(h,k)\to (0,0)} \frac{||f(h,k)-f(0,0)-\lambda_{(0,0)}(h,k)||}{||(h,k)||}=0

Et c'est ici que je bloque, au mieux j'arrive à majorer le quotient par 1.

Merci pour votre aide.

Posté par
Camélia Correcteurre : Différentiabilité 27-05-09 à 15:25

Rebonjour

C'est OK pour le début et elle est bien différentiable. En effet,

\frac{|f(h,k)|}{\sqrt{h^2+k^2}}\leq \frac{h^2}{\sqrt{h^2+k^2}}\leq \sqrt{h^2+k^2}

Posté par
scrogneugneure : Différentiabilité 27-05-09 à 15:28

Sans commentaires

merci encore une fois !

Posté par
Camélia Correcteurre : Différentiabilité 27-05-09 à 15:37

Je vais quand même faire un commentaire! Ici, il n'y avait pas grand chose d'autre à faire. Mais il est bon dans ce genre de trucs de se rappeller que "dérivées partielles continues" entraine la différentiabilité, et il peut être utile de regarder la continuité des dérivées partielles au point considéré.

Ensuite, il est bon de savoir que lorsque x tend vers 0

\Large\frac{|x_1|^{\alpha_1}...|x_k|^{\alpha_k}}{(x_1^2+...+x_k^2)^\beta}

-tend vers 0 si \alpha_1+...\alpha_k> 2\beta
-n'a pas de limite mais reste borné si \alpha_1+...\alpha_k= 2\beta
-tend vers l'infini si \alpha_1+...\alpha_k< 2\beta


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