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Différentielle de l'inverse

Posté par
H_aldnoer 15-10-08 à 13:24

Bonjour,



dans un exercice on a prouvé que l'application \Large J de \Large Gl(E) dans \Large L(E), qui a \Large T associe \Large T^{-1} était différentiable avec \Large DJ(T).H=-T^{-1}HT^{-1}.

Le prof dit la chose suivant :
la différentielle s'exprime en fonction de l'application considérée, on montre alors qu'elle est deux fois différentiable.

La je fais un blocage.
J'ai écris que \Large DJ(T).H=-J(T)HJ(T).


Posons \Large \psi, l'application de \Large Gl(E) dans \Large L(E)\times L(E) qui a \Large T associe le couple \Large (J(T),J(T)). Cette application est différentiable car les applications composantes le sont et on a \Large D\psi(T).K=(DJ(T).K,DJ(T).K)=(-T^{-1}KT^{-1},-T^{-1}KT^{-1}).


Ensuite, je considère l'application \Large \varphi : (a,b)\in L(E)\times L(E) \to -aHb\in L(E). Elle est clairement bilinéaire. Elle est de plus continue car \Large ||\varphi(a,b)||\le ||H||||a|||b||.
Par conséquent, cette application est différentiable avec \Large D\varphi(a,b).(u,v)=\varphi(a,v)+\varphi(u,b)=-aHv-uHb.


On remarque que \Large \varphi(\psi(T))=\varphi(J(T),J(T))=-J(T)HJ(T)=DJ(T).H. Ceci montre que \Large DJ(T)=\varphi o \psi. On en déduit qu'elle est différentiable (et donc que \Large J est bien deux fois différentiable) et qu'on peut appliquer le th. de dérivations des applications composées :


\Large D(\varphi o \psi)(T).K=D\varphi(\psi(T)).(D\psi(T).K)=D\varphi(J(T),J(T)).(-T^{-1}KT^{-1},-T^{-1}KT^{-1})=-J(T)H(-T^{-1}KT^{-1})+(T^{-1}KT^{-1})HJ(T).

\Large D(\varphi o \psi)(T).K=T^{-1}H(T^{-1}KT^{-1})+(T^{-1}KT^{-1})HT^{-1}.



J'en ai déduis que \Large D^2J(T).HK=T^{-1}HT^{-1}KT^{-1}+T^{-1}KT^{-1}HT^{-1}, est-ce correct ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Différentielle de l'inverse 15-10-08 à 14:10

Bonjour

C'est exactement ça! Un bon moyen de vérifier ce genre de choses est de voir si c'est cohérent avec la dimension 1. Si J(t)=1/t, On a bien J'(t)(h)=-h/t^2 et J''(t)(h,k)=2hk/t3. Bien sûr là dessus on ne voit pas du tout les subtilités qui viennent de la non-commutativité, mais au moins ça rassure sur les signes et les puissances.

Je suis contente que tu viennes de rentrer dans des eaux où je peux naviguer... Tes histoires de proba et intégration étaient tout à fait hors de ma portée...

Posté par
mrnocnocre : Différentielle de l'inverse 15-10-08 à 14:12

oui, il y a un très léger abus de notation  pour montrer DJ(T)=\phi \circ \psi mais le raisonnement semble parfait.

Posté par
H_aldnoerre : Différentielle de l'inverse 15-10-08 à 16:30

Ah, j'avais même pas pensé au cas réel connu depuis la première ! C'est excellent car \Large DJ(t).h=J'(t)\times h=\frac{-h}{t^2}=-t^{-1}ht^{-1} !

Dis moi Camélia, n'as-tu pas proposé un problème tournant autour de cette application et qui regroupe différentielle première, différentielle seconde, th. des accroissements, d'inversion local et de Schwarz (j'en demande peut-être beaucoup )


mrnocnoc, je vois pas d'abus! L'égalité est entendue au sens de \Large L(E), non?

Posté par
Camélia Correcteurre : Différentielle de l'inverse 15-10-08 à 16:36

>H_aldnoer Tout ça en même temps? Je vais essayer de me rappeler! de toute façon, j'en ai de jolis à base d'inversion locale. C'est kaiser et Cauchy qui ressortaient mes vieux topics en claquant des doigts! mais je te promets de rechercher.

Posté par
H_aldnoerre : Différentielle de l'inverse 15-10-08 à 16:47

Je suis en manque de calcul différentiel
De l'inversion locale autour de l'application inverse, voila qui m'intéresse fortement.

Posté par
Camélia Correcteurre : Différentielle de l'inverse 15-10-08 à 16:52

Je te mets un truc!

Posté par
H_aldnoerre : Différentielle de l'inverse 15-10-08 à 17:04

Ok!

Posté par
Camélia Correcteurre : Différentielle de l'inverse 15-10-08 à 17:09

Désolée, c'est plutôt des fonctions implicites... Tu auras un petit coup d'inversion locale demain!

Posté par
Camélia Correcteurre : Différentielle de l'inverse 16-10-08 à 14:17

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