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différentielle totale exacte
Bonsoir à tous,
on donne :
df=y² dx +(x²-2xy)dy
Après avoir vérifier que df n'est pas une différentielle totale exacte, on demande de montrer qu'il existe une fonction dg produit de df par une fonction dépendant unique ment de x qui soit différentielle totale exacte .
soit h(x) la fonction à trouver
dg = df.h(x) et df=y²dx+(x²-2xy)dy
=y²h(x) dx +(x²-2xy)h(x)dy
ainsi ∂/∂y (∂g/∂x)=2yh(x) et
∂/∂x (∂g/∂y)=(2x-2y)h(x)+(x^2-2xy) h^' (x)
dg est différentielle totale exacte si :
2yh(x) =(2x-2y)h(x)+(x^2-2xy) h^' (x)
càd : (2x-4y)h(x) + ( x²-2xy)h'(x)=0
dérivons par rapport à y comme vous l'avez proposé je trouve :
-4h(x) -2xh'(x)=0
càd : xh' +2h=0
pr x0 h'/h=-2/x
intégrons ln(h)=ln(-2/x)
d'où h(x)=c /x² av c IR
finalement : dg= cy²/x²dx +c(x²-2xy)/x² dy
Bonsoir à tous,
on donne :
df=y² dx +(x²-2xy)dy
Après avoir vérifier que df n'est pas une différentielle totale exacte, on demande de montrer qu'il existe une fonction dg produit de df par une fonction dépendant unique ment de x qui soit différentielle totale exacte .
soit h(x) la fonction à trouver
dg = df.h(x) et df=y²dx+(x²-2xy)dy
=y²h(x) dx +(x²-2xy)h(x)dy
ainsi ∂/∂y (∂g/∂x)=2yh(x) et
∂/∂x (∂g/∂y)=(2x-2y)h(x)+(x^2-2xy) h^' (x)
dg est différentielle totale exacte si :
2yh(x) =(2x-2y)h(x)+(x^2-2xy) h^' (x)
càd : (2x-4y)h(x) + ( x²-2xy)h'(x)=0
dérivons par rapport à y comme vous l'avez proposé je trouve :
-4h(x) -2xh'(x)=0
càd : xh' +2h=0
pr x0 h'/h=-2/x
intégrons ln(h)=ln(-2/x)
d'où h(x)=c /x² av c IR
finalement : dg= cy²/x²dx +c(x²-2xy)/x² dy
Merci de me corriger ./.
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