ah oui tu fais ça en quelle classe ?

comment on t'a expliqué la notion de dimension ?

La dimension c'est le nombre de vecteurs que comporte n'importe quelle base d'un espace vectoriel

oui on peut voir ça comme ça.
Alors tu n'as pas d'idée pour la première matrice ?

Bah je dirais 2 ?

oui et donne une base

fais pareil pour les autres, essaie

Pour la base je sais pas du tout..
Et pour la dimension je me contente de donner le nombre de colonnes linéairement indépendantes ?

oui pour la dimension c'est ça

Pour la base c'est assez simple.
Dans le premier cas, le nombre de colonnes est égal au nombre de lignes qui est égal à la dimension. Donc il suffit de prendre les deux vecteurs colonnes (ou les deux vecteurs lignes) pour avoir une base.

essayons avec la 2e matrice, tu en penses quoi

Pour que ce soit une base il faut que ses deux colonnes soit génératrice de R2 non ? C'est a dire qu'il faut qu'on puisse l'ecrire sous forme d'une CL de ces vecteurs, est-ce le cas ici avec la premiere matrice ? Comment le vérifier ?

le plus simple est de dire que deux vecteurs non colinéaires de R2 forment nécessairement une base de R2. Donc il n'y a qu'à vérifier que ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires (grâce à un déterminant ou par une méthode de CL)

J'ai pas encore étudié les déterminants, par contre pourquoi se compliquer la vie avec une notion qui a été oubliée il y'a longtemps (colinéarité) ? ^^'
Je veux juste savoir comment vérifier que tout élément de R^2 est une CL des vecteurs de notre matrice.

bah moi je te dirai que "ça se voit" ^^ enfin comme j'ai un peu d'expérience jsuis capable de le voir comme ça. Mais si tu veux vérifier il faut montrer qu'ils ne sont pas colinéaires, ce qui n'est pas dur (notion de ... seconde ?)

par exemple dans la matrice 3, tu vois que les 2 sont colinéaires, ça parait facile.
il est plus facile de montrer que deux vecteurs sont colinéaires plutot que de montrer qu'ils ne le sont pas

Je n'ai pas dit que c'etait dur, mais que j'avais oublié (la seconde c'etait y'a un petit moment maintenant ^^) mais vu comme tu le présentes, je viens de me souvenir qu'en fait 2 vecteurs sont colinéaire si u = kv par exemple avec k réel. Ce qui est la même chose qu'une combinaison linéaire n'est-ce pas ?

Maintenant, ce que je veux comprendre c'est comment montrer que les vecteurs de la première matrice génére l'ensemble R2.
Je sais que les vecteurs de cette matrice sont libres et donc qu'il s'agit d'une base, mais avant de montrer qu'il s'agit d'une base il faut d'abord préciser que la première matrice est génératrice de R2, puisque qu'une base n'est rien d'autre qu'un système générateur dont les vecteurs sont linéairement indépendants.

En fait la c'est comme si on avait brulé une étape, on a montré qu'il s'agissait d'une base mais avant d'avoir montré que c'etait un système générateur.

Pour que ce soit un système générateur, il faut que tout élement X de R2 puisse s'ecrire sous la forme d'une CL des vecteurs de la première matrice. C'est cela ma question, comment le démontrer ?

Voila une propriété de mon cours qui va m'aider je pense :

Soit E un espace vectoriel de dimension n, et soit S un système de p vecteurs de E. Si rangS = n alors S engendre E.

Dans notre exemple, le rang de la première matrice est de 2 et l'ev considéré est de dimension 2 (R2) donc la première matrice engendre bien R2, c'est donc une base puisque ses vecteurs sont libres exact ?

Par contre ca se passe pas toujours comme ca donc j'aimerais connaitre une autre méthode pour y arriver (cf post précédent)
Par exemple si on avait été dans R^3 et si le rang de la matrice étudiée avait été de 2 on arrive à quelle conclusion ? Ce n'est pas un système générateur? Ce n'est pas une base ?

Sinon quelle est la différence entre rang et dimension ? Parce que je m'embrouille la ^^'

pour le rang :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Rang_(math%C3%A9matiques)

en fait dimension ne s'applique que pour les applications linéaires apparamment...
En principe quand on parle de la dimension d'une matrice, on parle du nombre de colonnes et de lignes. par exemple, une matrice 3x5, ou une matrice 2x2. Alors que le rang c'est bien le nombre de colonnes (ou de lignes) linéairement indépendantes. On va faire attention à ce qu'on dit alors ^^

Pour reprendre notre exemple de la 1ère matrice. En effet si on montre qu'une famille de 2 vecteurs de R2 est libre ALORS NECESSAIREMENT cette famille est une base de R2. De même si 2 vecteurs de R2 forment une famille génératrice de R2 alors c'est une famille libre.

donc c'est pour ça qu'en montrant que les 2 vecteurs de la 1ère matrice ne sont pas colinéaires, on montre qu'ils sont une base de R2. Pas besoin d'aller chercher plus loin.

T'es sur qu'une famille génératrice est libre ? Dans mon cours un système un générateur G de E si tout élement X de E peut s'ecrire sous la forme d'une CL des vecteurs de G c'est à dire si pour
X = x1
     x2
    

avec X appartient à E on a :

X = au +bv

Avec u et v 2 vecteurs de G.

non j'ai dit qu'une famille de n vecteurs génératrice de Rn, était forcément libre.

Est-ce le cas justement ?
Le fait par exemple qu'un ensemble G de R3 engendre R3 n'implique pas forcément que les vecteurs de de G soient libres...(enfin d'après mon cours)
Donc si 3 colonnes de G sont liées mais que 2 sont libres à ce moment la c'est une base de R2 n'est-ce pas ? Même s'il est a la base generateur de R3 (vu qu'il y'a un vecteur "superflu")

Je confonds combinaison linéaires et le fait que les vecteurs soient dépendants... Ca revient au même ou non ?
Comment je m'embrouille..

tu t'embrouilles oui.

Dans la première matrice, les vecteurs (1;1) et (1;-1) forment une base de R2. Ca ne te parait pas logique ? Sinon tu peux montrer qu'ils sont non colinéaires. Ca te prouve qu'ils forment une base de R2. Je te l'assure.

2e matrice : la dimension de l'espace vectoriel associé est clairement 2. Tu prends par exemple 2 des colonnes pour avoir une base.

3e matrice : rang = 1, ça parait facile aussi. Donc tu prends un vecteur colonne comme base

Oui j'ai compris tout ca, mais je vais répéter encore ce que je comprends pas :
Pour etre une base de R2 faut que la matrice soit un système générateur de R2 non ? Or la tu dis direct que c'est une base avant de démontrer que c'est un système générateur..

Bon je vais essayer de réexpliquer correctement alors.


Tu peux te rendre sur http://ufr-math-p12.univ-mlv.fr/L1/telecharger/Anciens%20cours/MIAS1chap3.pdf et regarder la remarque encadrée en-dessous de la remarque 3.3.3, page 9

Comme dans le cas de la 1ère matrice, on a 2 vecteurs de R2, alors pour montrer que la famille constituée de ces 2 vecteurs forme une base de R2, il suffit de montrer que c'est une famille libre OU ou que c'est une famille génératrice. L'un des deux suffit.