Bonjour

En général, la distance d'un point à une partie quelconque A (par exemple une droite) est

Salut,

Je ne comprends pas ta notation. J'aimerai savoir sur le plan littéraire ce que veut dire la distance d'un point à une droite. C'est ce qui me bloque.

C'est la borne inférieure des distances de x à un point de A. (la plus courte distance d(x,a) quand a décrit A)

Ok,

donc si je comprends bien, c'est la distance de A à son projeté orthogonal sur la droite D, est-ce ça ? Et il y a donc qu'une seule possibilité.

Oui, pour une droite la plus courte distance est atteinte pour le projeté orthogonal.

Soit le vecteur directeur (3;4) de la droite D.
Soit M (x;y) un point de (AH) et le vecteur AM désigné par . (x-4;y-1)

On a donc :

     orthogonal à
<=> .=0
<=> 3(x-4)+4(y-1)=0
<=> 3x+4y-16=0

Donc, la droite passant par A orthogonale à D est définie par l'équation 3x+4y-16=0. Je cherche donc le point d'intersection de ces 2 droites :

3x+4y-16=0
4x-3y+13=0
<=>
9x+12y-48=0
16x-12y+52=0
<=>
25x+4=0
3y=4x+13
<=>
x=-4/25
y=309/75

les coordonnées de H sont donc (-4/25;309/75)

Les coodronnées du vecteur AH sont donc (-104/25;78/25)

Je calcule la norme de AH :

    AH=[(-104/25)²+(78/25)²]
<=> AH=(16900)/25
<=> AH=130/25


J'ai vérifié le résultat avec la représentation graphique.
Est-ce juste ?


Il faut maintenant que je généralise la formule dans la suite de l'exercice. Je posterai la suite de l'exercice après-demain normalement.

Joyeux nöel et bon reveillon à tous

Pouvez-vous me dire si ma réponse est juste ?

Joyeux nöel à tous sinon

Bonjour Pluto :

Tu peux vérifier aisémént ton résultat :

si dans un repère orthormal, (D) a pour équation ax+by+c=0, et si A a pour coordonnées (x_A;y_A), alors

Au fait, comment s'obtient cette formule..

Un vecteur normal à (D) est

- d'une part : , donc

,

- d'autre part

or H est un point de (D) donc ax_H+b_H+c=0

donc et par conséquent



Des deux formules encadrées on déduit la valeur de AH

Sauf faute(s) de frappe.

merci littleguy pour ce rappel, et joyeux noël à toi
.

Salut,

Merci beaucoup pour la démo. Tu viens de me donner les réponses de la suite de mon DM qui voici :

2°) Cas général

Soid D la droite d'équation ax+b+c=0 et A le point de coordonnées (x_a;y_a). On appelle H le projeté orthogonal de A sur D. On désigne par d(A;D) la distance de A à D.

a) On considère un vecteur normal à la droite D. Démontrer que : |.|=|ax_a+by_a+c|

b) Que peut-on dire des vecteurs et ? En déduire les égalités :



puis



c) Retrouver le résultat de l'exemple avec cette formule.

Voila la suite du DM. Il y a ensuite une partie B ou l'on applique cette formule à quelque situation de géométrie analytique.

Je vais d'abord mettre mes réponses pour le cas général (en essayant de faire sans regarder ta démo littleguy).

Joyeux Nöel !

Suite du devoir :

Partie B :

Cette partie a pour but d'utiliser ce résultat dans quelques situations de géométrie analytique.

1°) Soit C le cercle d'équation x²+y²+4x-6y-12=0.
a) déterminer le centre et l rayon du cercle C.
b) Soit A le point de coordonnées (6,5;6). on désigne par Dm la droite de coefficient directeur m passant par A où m est un réel quelconque. Donner une équation de Dm.
c) Exprimer en fonction de m la distance de à Dm.
d) En déduire les valeurs de m pour lesquelles Dm est tangente à C.
e) Préciser les équations des tangentes à C issues de A.

Voici mes premières réponses :


    x²+y²+4x-6y-12=0
<=> (x+2)²+(y-3)²=25=5²

Donc, (-2;3) et R=5.

b) Je me suis fait 3 exemples de courbes avec m=1, m=0 et m=-1 et j'en ai déduit l'équation suivante :

y=mx-6,5m+6

Qu'en pensez-vous ? J'ai cherché mais je ne vois pas comment le justifier par le calcul. Vous auriez une idée ?

Je préfère attendre une confirmation de mon résultat avant de poursuivre les questions.

Bonne soirée

Pluto

Quelqu'un pourrait-il confirmer mon résultat ?

Bonjour

OK pour le cercle

Une équation de (Dm) est y=mx+p

or les coordonnées de A vérifient cette équation, donc

6 = 6,5m+p, d'où p = 6-6,5m

donc pour (Dm) on obtient y = mx+6-6,5m

Salut,

Ok. Merci pour la justification très simple. Je continue mon DM.

c) (-2;3)
    y=mx+6-6,5m
<=> mx-y+6-6,5m=0

Soit la formule :

vec :

a = m
b = 1
c = 6-6,5m
x_a = -2
y_a = 3

    
<=>
<=>

Voila pour la c. Qu'en penses-tu ?

Je penses que j'ai du faire une erreur dans la c parce que quand j'essaye de faire la questions d, je trace mes droites (sur sine qua non) et mes droites ne sont pas du tout tangente au cercle. Voyez-vous une erreur dans la c ?

Bon après-midi

Pluto

Re-bonjour

Oui une erreur : b=-1 et non pas b=1, ce qui change l'expression finale de la dsitance, et il te faut garder la valeur absolue dans l'expression de cette distance.

et pour d) on trouve alors : m = -16/63 ou m = 4/3

Exact, merci pour cette rectification. Je vais refaire mes calculs. Quand tu dis qu'il faut garder la valeur absolue, je dois garder |-8,5m+9|, c'est bien ça ?

oui, mais ce n'est plus |-8,5m+9| mais |-8,5m+3| (à vérifier, comme les résultats de mon post précédent d'ailleurs...)

Exact. Je pense poster mes calculs dans la soirée normalement.

c) (quand je recopierai le devoir, je remplacerai le a en indice par )

a = m
b = 1
c = 6-6,5m
x_a = -2
y_a = 3



Pour la d), on veut que m soit tangente à C, ce qui correspond à : d(,Dm)=R

J'obtiens le calcul suivant :



<=>

Donc, si -8,5m+3>0, alors |-8,5m+3|=-8,5m+3
      si -8,5m+3<0, alors |-8,5m+3|=8,5m-3

et je résous les deux cas, est-ce bien ça ?

et si tu commençais plutôt par des "produits en croix" ? Ce serait peut-être plus simple ensuite en élevant au carré...

Mais au bout du compte ça revient au même...

Salut,

je viens de refaire mes calculs et j'ai trouvé le bon résultat. j'ai d'abord trouvé l'équivalence :

72,25m²-51m+9=25m²+25

J'en suis arrivé au polynôme du second degré suivant :

189m²-204m-64=0

Je trouve 2 solutions :
m₁=-16/63
m₂=4/3

Et pour la e), je remplace m dans y=mx+6-6,5m

Première tangente : y=-16/63x+482/63

Seconde tangente : y=4/3x-8/3


Bingo, le schéma confirme tout :

Voila le schéma

Il me reste plus qu'un seul exercice :

2°) Soit les points A(-3;3), B (1;-1) et C (4;4)
a) Calculer l'aire du triangle ABC.
b) Démontrer que l'ensemble des points C(x;y) équidistants des droites (AB) et (AC) est la réunion de deux droites ₁ et ₂ dont les équations sont respectivement : x+3y-6=0 et 3x-y+12=0
c) Que représentent ces droites pour l'angle de sommet A du triangle ABC ? Etudier la position relative de ces deux droites.

Pour la a), je me sers de la formule de l'aire : S=1/2ACABsin()

Je crée donc un repère polaire (O;) (en sachant que le plan est reporté à un repère orthonormal (O,,))

Je trouve les coordonnées polaires de AB (;45°) et de AC (;8,13°)

Je calcule ensuite l'angle cherché, qui est : () et je trouve environ 53,13, et je trouve que son sinus est égal à 0,8.

J'ai donc tout les paramètres :

AB =
AC =
sin ()=0,8

A=1/20,8

<=> A=16

Voila pour la première question. Dans l'énoncé, il n'y a aucune unité de précisée. Je laisse le résultat comme ça ?

Bonjour

Je rentre à l'instant et je n'ai jeté qu'un coup d'oeil.

Pour 2)a) : si c'est dans l'esprit des questions précédentes, il conviendrait peut-être d'utiliser :
BCAH/2, avec H projeté orthogonal de A sur (BC).

Le calcul de BC est simple, et AH est la distance de A à (BC) ; il suffit alors de trouver une équation de (BC) et d'utiliser la formule démontrée auparavant. Et alors pas de valeurs approchées...

Ok, je pense que ce que j'ai fait est bon car je tombe sur une valeur ronde à la fin. Mais tu as raison, ton raisonnement est plus dans l'esprit de mon DM. Je vais refaire la question en suivant ton raisonnement et je le posterai ensuite.

Pour la question b), j'ai trouvé les droites d'équations de (AB) et (AC) :

droite d'équation de AB est : x+y=0
droite d'équation de AC est : x-7y+24=0

Pour trouver les équations de ₁ et ₂, je pense résoudre d(C;AB)=d(C;AC). Est-ce bien ça que je dois faire ?

Pour calculer l'Aire d'ABC, je détermine la longueur du segment [AB], ainsi que la hauteur à [AB] passant par C. On nomme H le point d'intersection de la hauteur et [AB].
Comme (CH) orthogonal à (AB), je peux calculer [CH] en calculant d(C;AB).

Je trouve donc AB = 4

Je cherche alors la droite d'équation de (AB), je trouve : x+y=0

Je calcule donc d(C;AB) et je trouve 4

Et je termine avec le calcul de l'Aire :

A=CH*AB/2=(4)²/2=16

Voila pour le a). Que penses-tu pour le b) ?

Je dois bien résoudre cela :

Est-ce bien ça ?

Je n'ai pas vérifié ton calcul...

Le principe :

- tu détermines une équation de (AB) (tu l'as fait auparavant), une équation de (AC)
- tu écris que "M(x;y) équidistant de (AB) et (AC") équivaut à "d(M,(AB))=d(M,(AC))"
- tu utilises ensuite la formule démontrée au début.

La vérification est simple puisque le résultat est donné dans l'énoncé.

J'ai trouvé l'équivalence :

d(M;(AB))=d(M;(AC))
<=>

J'élève au carré de chaque côté et j'obtiens :

3x²-3y²+8xy-6x+42y-72=0

Je regarde alors le produit des 2 équations données dans la question :

(x+3y-6)(3x-y+12)=3x²-3y²+8xy-6x+42y-72=0

Donc,

d(M;(AB))=d(M;(AC))
<=> (x+3y-6)(3x-y+12)=0

Voila, qu'en penses-tu ?

Pour la c), j'ai vu graphiquement que les droites étaient les bissectrices de l'angle A et qu'elles étaient perpendiculaires. Pour démontrer qu'elles sont perpendiculaires, j'utiliserai les produits scalaire. Mais je ne vois pas comment montrer que ce sont les bissectrices.


Sinon, bon réveillon à tous !!!!!

A propos, par quel moyen puis-je factoriser une équation comme cela ? 3x²-3y²+8xy-6x+42y-72=0

Car si je n'avais pas eu la réponse, j'aurai mis beaucoup de temps avant de trouver la bonne factorisation...

Bonjour

Tu t'es compliqué la vie : |A| = |B| équivaut à (A=B ou A=-B), et tu as immédiatement le résultat (inutile d'élever au carré et de chercher une factorisation compliquée...).

Pour l'histoire de bissectrices, c'est un résulat connu, voir par exemple : .

Bon réveillon à toi aussi.

Mais comment puis-je démontrer que ces 2 droites sont les bissectrices de A ? Je ne vois pas du tout...

Je viens de refaire le calcul pour la b) et effectivement, c'est beaucoup plus simple. Merci beaucoup

Pour l'histoire des bissecrices, prends un point M quelconque sur l'une de deux droites considérées, appelle H₁ et H₂ ses projetés respectifs sur (AC) et (AB).

Par définition même on a MH₁ = MH₂. Il t'est alors facile de démontrer soit par des considérations trigonométriques, soit par des considération d'isométrie de triangles que .

Idem pour N sur l'autre droite et ses projetés.

Allez, bonne fin d'année 2006 et exccellente année 2007 à toi.

Salut,

Merci beaucoup pour m'avoir aidé dans tout le devoir.

Bonne année 2007 à toi aussi

Je suis bête.

On a démontré que ₁ et  ₂ représetaient l'ensemble des points équidistants de (AB) et (AC). Donc il suffit d'en déduire que ₁ et  ₂ sont les bissectrices.

J'aurai du y penser avant : je m'en suis rendu compte quand j'ai eu fini de copier mes calculs ^^

Tant pis.

Encore merci à toi et bon réveillon