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Distance de cos^n(x) à l'origine

Posté par
gui_tou 09-09-08 à 20:57

Bonsoir bonsoir

Je trouve la dernière question de mon DM plutôt intéressante, mais un brin difficile ^^

On définit la fonction 3$f_n\ :\ \to \cos^n(x)  (sur 3$\[0,\fr{\pi}{2}\] mais on s'en moque). Soit 3$\Gamma_n son graphe.

On note 3$d_n la distance 3$d_n=d(O,\Gamma_n).

Un schéma vaut mieux que de longues explications : Distance de cos^n(x) à l\'origine

Citation :
Trouver un équivalent simple de 3$d_n


Déjà, on voit que 3$d_n converge vers 0 (encore faut-il le montrer ).
Suffit-il te dire que la suite de fonctions 3$(f_n) converge simplement vers la fonction 3$f=\{1\rm{ si }x=0\\0\ \rm{ sinon

Mais pour l'équivalent .. j'ai pas d'idées du tout!

Est-ce que c'est moi ou les points de 3$f_n les plus proches de l'origine sont sur la même droite ?

Merci beaucoup

Posté par
Nightmarere : Distance de cos^n(x) à l'origine 09-09-08 à 21:01

Salut

Je ne comprends pas la notion de distance ici déjà, la distance entre O est cos^n est-elle égale à 3$\rm min_{x\in [0,\frac{\pi}{2}]} |cos^{n}(x)| ?

Posté par
gui_toure : Distance de cos^n(x) à l'origine 09-09-08 à 21:03

Salut

Oui oui c'est bien ça!

Posté par
Nightmarere : Distance de cos^n(x) à l'origine 09-09-08 à 21:10

Alors une idée :

On considère 3$\rm h_{n}(x)=x^{2}+cos^{2n}(x)

Le minimum de cette fonction est 3$\rm d_{n}^{2}. Il suffit alors d'étudier le point 3$\rm x_{n} en lequel le minimum est atteint.

Posté par
Nightmarere : Distance de cos^n(x) à l'origine 09-09-08 à 21:12

Ca marche bien, je trouve que 3$\rm d_{n}\sim \frac{\sqrt{ln(n)}}{\sqrt{n}}

Posté par
gui_toure : Distance de cos^n(x) à l'origine 09-09-08 à 21:23

Vi, tu utilises simplement Pythagore, bien vu.

3$h'_n(x)=2x-2n.\sin(x).cos^{2n-1}(x)

3$h'_n(x)=0\ \Leftright\ x-n.sin(x).\cos^{2n-1}(x)\ =\ 0

Zut faut que je m'y prenne autrement ..

Posté par
Nightmarere : Distance de cos^n(x) à l'origine 09-09-08 à 21:34

Ne t'arrête pas en si bon chemin malheureux ! ^^

On a 3$\rm cos^{2n-1}(x_{n})=\frac{1}{n}\times \frac{x_{n}}{sin x_{n}}\sim \frac{1}{n}

On passe au log :
3$\rm (2n-1)ln(cos(x_{n}))\sim -ln(n)\sim 2nln\(1-\frac{x_{n}^{2}}{2}\)\sim -nx_{n}^{2}

On a donc au final 3$\rm x_{n}^{2}\sim \frac{ln(n)}{n} et 3$\rm cos(x_{n})^{2n}=o\(x_{n}^{2}\)

On somme et hop :
3$\rm d_{n}^{2}=x_{n}^{2}+o(x_{n}^{2})\sim x_{n}^{2}

Posté par
gui_toure : Distance de cos^n(x) à l'origine 09-09-08 à 21:49

T'es épatant ^^

Quand on y pense, une fois qu'on a l'idée et qu'on sait que ça va marcher, c'est facile

Merci et bravo Jord!

Posté par
Nightmarere : Distance de cos^n(x) à l'origine 09-09-08 à 22:00

Je t'en prie

Posté par
gui_toure : Distance de cos^n(x) à l'origine 10-09-08 à 18:46

Re

On montre que 3$d_n\longright_{n\to+\infty}0 après avoir trouvé l'équivalent, ou on peut le montrer avant ?

Posté par
Nightmarere : Distance de cos^n(x) à l'origine 10-09-08 à 18:55

Bah comme tu l'as dit, la convergence simple de la fonction vers la fonction caractéristique de {0} suffit

Posté par
gui_toure : Distance de cos^n(x) à l'origine 10-09-08 à 18:56

Oki re-merci


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