Salut à tous,

On me pose cette question :

Soit W la distribution de Heaviside et f une fonction intégrable et indéfiniment dérivable.
Montrer que W*Wf(t)=W(f(u)du) [pour u : 0 --> t]

Ici *: produit de convolution

Je fais donc quelques rappel au cas ou, certaine personnes ne pourraient pas m'aider à cause d'oublis :

La distribution de Heaviside est : x, W(x)=1 pour x supérieur ou égal à0 et W(x)=0 sinon.

Soit h=f*g, on définit le produit de convolution par : h(x)=f(t)g(x-t)dt x.

Définition : Une fonction f:--> est dite localement sommable si elle est intégrable sur tout intervalle borné. A toute fonction f localement sommable, on associe la distribution T_f défine par : , <Tf,> = (f(x)(x))dx

On définit l'ensemble comme l'espace des fonctions à valeur complexes définies sur indéfiniment dérivables et à support borné.

Réponse:

Voilà  ce que j'ai fait, mais je ne sais pas si cela est rigoureux :

Soit h(t)=W*Wf(t)=WW(x)f(x-t)dx=W(f(x-t))dx pour x : 0-->

En posant le changement de variable u=t-x, on a du=-dt zt x-->0u-->t et x-->u-->-

Doù h(t)=W*Wf(t)=f(u)du pour u : --->t, donc de pour u : 0-->t d'après la définition de la distribution de Heaviside.

Je ne sais pas si cela est rigoureux, pouvez m'éclairez, peut-être qu'il faut utiliser cela <W*Wf(t),>=<WWf(t),> = <W(x)<Wf(y),(x,y)>> si on suppose que correspond au produit tensoriel.

Pouvez vous m'éclairer, merci d'avance.