Niveau école ingénieur

Divers exercices [à corriger]

Posté par
TheDoci 28-01-09 à 15:38

Bonjour,

j'ai essayé de faire 2 exercices, dont 1 que je pense avoir réussis, mais je demande confirmation

Voici le premier :
$3$f(x,y) = \frac{xy^2}{sin(x^2 + y^2)} si (x,y) \neq (0,0)$
$3$f(0,0) = 0$
Etudier la continuité et l'existence des dérivées partielles de f. La fonction f est-elle de classe $C^1$ ?

Voici ma réponse :
$-1 \le sin(x^2 + y^2) \le 1$
donc $-1 \le \frac{1}{sin(x^2 + y^2)} \le 1$
On a alors soit
$-xy^2 \le \frac{xy^2}{sin(x^2 + y^2)} \le xy^2$ si x $\ge$ 0
avec $\lim_{x\to 0} -xy^2 = 0$ et $\lim_{x\to 0} xy^2 = 0$
Alors d'après le théorème des gendarmes, $\lim_{x\to 0} \frac{xy^2}{sin(x^2 + y^2)} = 0$
Donc f continue en 0

soit on a
$-xy^2 \ge \frac{xy^2}{sin(x^2 + y^2)} \ge xy^2$ si x < 0
avec $\lim_{x\to 0} -xy^2 = 0$ et $\lim_{x\to 0} xy^2 = 0$
Alors d'après le théorème des gendarmes, $\lim_{x\to 0} \frac{xy^2}{sin(x^2 + y^2)} = 0$
Donc f continue en 0

Donc f continue en 0

Ensuite je montre l'existence des dérivées partielles de f :
$\frac{\delta f}{\delta x} = \frac{y^2}{sin(2x)}$
$\frac{\delta f}{\delta y} = \frac{2xy}{sin(2y)}$
Donc les dérivées partielles existent pour $(x,y) \neq (0,0)$

Fonction de classe $C^1$ ?
$-1 \le sin(2x) \le 1$
$-1 \le \frac{1}{sin(2x)} \le 1$
$-y^2 \le \frac{y^2}{sin(2x)} \le y^2$
Or $\lim_{x,y\to 0} -y^2 = 0$
et $\lim_{x,y\to 0} y^2 = 0$
Donc $\frac{\delta f}{\delta x}$ continue en 0

Raisonnement identique pour $\frac{\delta f}{\delta y}$ , donc c'est aussi continu en 0

Donc f est bien de classe $C^1$

Voici le second exercice :
** Tom_Pascal : un exercice par topic, c'est plus clair, merci j'ai déplacé ton autre exo dans un nouveau topic ! **
Merci pour votre aide !

Posté par re : Divers exercices [à corriger] 28-01-09 à 15:42

Bonjour

Tu crois vraiment que si $-1\leq u\leq 1$ on a aussi $-1\leq 1/u\leq 1$ ?

Posté par re : Divers exercices [à corriger] 28-01-09 à 15:47

Ah oui m***e

Du coup on peut pas le faire en inégalités ? Qu'elle est la méthode à utiliser ?

Posté par re : Divers exercices [à corriger] 28-01-09 à 16:00

En fait c'est vrai qu'elle tend vers 0. Il faut utiliser une autre inégalité, par exemple $sin(u)\geq 2u/\pi$ pour $0\leq u\leq \pi/2$

Posté par re : Divers exercices [à corriger] 28-01-09 à 16:03

ok merci je vais essayer avec ça

Posté par re : Divers exercices [à corriger] 28-01-09 à 16:10

Après essai, ça ne me semble pas très pratique parce que je n'ai qu'une "borne" ( sin(u)\ge 2u/ ), donc je ne peux pas faire de théorème des gendarmes
Et en plus au dénominateur de ma "borne" j'ai une expression qui tend vers 0 en 0

PS : les autres questions sont-elles correctes ?

Posté par re : Divers exercices [à corriger] 28-01-09 à 16:18

Tu as fait la même erreur partout...

$\sin(x^2+y^2)\geq 2(x^2+y^2)/\pi\Longrightarrow |f(x,y)|\leq \frac{\pi |xy^2|}{2(x^2+y^2)}$

On sait que $2xy\leq x^2+y^2$ donc $|f(x,y)\leq \pi |y|$

Les dérivées partielles en (0,0) valent bien 0, mais il faudrait savoir si les dérivées partielles sont continues, et pour ça il faut les calculer ailleurs qu'en (0,0) et regarder.

Posté par re : Divers exercices [à corriger] 28-01-09 à 16:26

ok, donc si je dis que les dérivées partielles ont au numérateur comme au dénominateur 2 fonctions continues en -infini ; +infini, c'est suffisant pour dire que f est continue en -infini ; +infini non ? (après que j'ai prouvé ça en (0,0))

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