Niveau terminale

divisibilité

Posté par coyotte (invité) 11-05-07 à 01:16

Bonsoir,
je suis désolée de poster ce message aussi tard
mais il y a deux exo qui me pose pb en spécialité

Comment faut-il choisir le naturel n pour que A= 2^n -1 soit divisible par 9?
b.cette condition étant supposée, réalisée, montrer que A est divisible par 7. Quel est le reste de la division de A par 21?

2e exo
On pourra remarquer que:
10^3 -1= 9*11
et 10^3 +1=7*11*13

a.Démontrer que le nb A= 10^(6n+2) +10^(3n+1) +1 (n naturel) est divisible par 111 quel que soit n et qu'il est également divisible par 7 et 13 si n est impair.

b.Démontrer que le nb B=10^(9n) +10^(6n)+10^(3n) +1 est divisible par 7,11 et 13 si n est impair et, dans les autres cas, déterminer le reste de la division de ce nb par 7, 11, 13 et 111.

Merci beaucoup d'avance pour l'aide que vous apporterez.

Posté par re : divisibilité 11-05-07 à 11:19

Bonjour,

En énumérant les 9 possibilités pour n:

$n \equiv 0\,\,\,[9]$
$n \equiv 1\,\,\,[9]$
$\vdots$
$n \equiv 8\,\,\,[9]$

Tu peux voir que pour $n \equiv 6\,\,\,[9]$ , $2^n-1 \equiv 63 \equiv 0\,\,\,[9]$

Dans ce cas, il existe $k$ entier tel que $n=9k+6=3(3k+2)$

d' où $2^n-1 \equiv 2^{3(3k+2)}-1 \equiv (2^3)^{3k+2}-1 \equiv 8^{3k+2}-1\,\,\,[7]$

Or $8 \equiv 1 \,\,\,[7]$ donc $2^n-1 \equiv 0\,\,\,[7]$

Posté par re : divisibilité 11-05-07 à 13:21

Re,

$A=10^2(10^3)^{2n}+10(10^3)^n+1$

or $10^3 \equiv 1\,\,\,[111]$ donc $A \equiv 10^2+10+1 \equiv 0\,\,\,[111]$ .

Si $n$ est impair, il existe $k$ tel que $n=2k+1$ .

d' où $A=10^{12k+8}+10^{6k+4}+1=10^8(10^3)^{4k}+10^4(10^3)^{2k}+1$

or $10^3 \equiv -1 \,\,\,[7]$
donc $(10^3)^{4k} \equiv 1 \,\,\,[7]$
et $(10^3)^{2k} \equiv 1 \,\,\,[7]$

d' où $A \equiv 10^8+10^4+1 \equiv 10^2(10^3)^2+10.10^3+1 \equiv 100-10+1 \equiv 91 \equiv 0\,\,\,[7]$

En repartant de: $A=10^8(10^3)^{4k}+10^4(10^3)^{2k}+1$

et en remarquant que: $10^3 \equiv -1\,\,\,[13]$ ,

on fait exactement les mêmes calculs modulo 13 et on constate que pour $n$ impair, $A \equiv 0\,\,\,[13]$ .

Je n' ai pas fait le b), mais il s' agit du même genre de calculs...

Posté par coyotte (invité)re : divisibilité 12-05-07 à 05:18

merci
je viens de comprendre

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