Salut

a) je pense que le mieux serait de raisonner en base 5.

b) n²-4n = 5k + r
puis il faudra discuter selon k.

BONSOIR RAOUL
a) soit n un entier naturel quelconque , tu divises n par 5 , quels sont les restes possibles que tu vas obtenir?
tu obtiens 0 si n est multiple de 5 ; dans ce cas n= 5k avec k entier naturel( exemples 0;5 10 ;15.....)
tu obtiens 1 , dans ce cas n= 5k +1 ( comme exemple prends n=1 : 1= 5x0+1
n=6 :6=5x1+1 ; n=11...; n=16 ;......on generalise en ecrivant n sous la forme 5k+1 .
si le reste est 2 : n=5k+2
si le reste est 3 :n=5k+3
si le reste est 4 : n=5k+4
(le reste ne peut pas etre egal à 5 car on divise par 5 )
b) en raisonant par disjonction des cas ,cela veut dire qu'on va discuter selon les restes possibles de n par 5 ,ie les formes d'ecriture s precedentes de n .
si n=5k , on calcule n²-4n en fonction de k
n²-4n = (5k)² -4 (5k)= 25k²-20k
      = 5(5k²-4k)= 5k' avec k'=5k²-4k
donc n²-4n est unmultiple de 5 ,donc le reste de la

donc le reste de la division euclidienne de n²-4n par 5 est 0
si n=5k+1 , n²= (5k+1)²= 25k²+10k+1
et n²-4n = 25k²+10k+1 - 4(5k+1)= 25k²-10k -3
tu ecris -3 = -5+2
donc n²-4n= (25k²-10k -5 )+2
          = 5(5k²-2k-1) +2
          =5k' +2 avec k'= 5k²-2k-1
donc le reste de la division euclidienne de n²-4n par 5 est 2
tutraites les cas n=5k+2 et n=5k+3 et n=5k+4 de la meme maniere.
bon courage Raoul

BONSOIR RAOUL
je vais terminer les autres cas pour repondre à la question suivante
si n= 5k+2 , n²=25k²+20k+4; donc n²-4n = 25k²+20k+4 - 20k-8
                                       = 25k²-4= 25k²-5 +1
                                       =5(5k²-1) +1 = 5k'+1 avec k'=5k²-1
donc le reste de la division euclidienne de n²-4n par 5 est 1
si n=5k+3 , n²= 25k²+30k+9 , et n²-4n= 25k²+30k +9 -(20k+12)
                                     = 25k²+10k -3
                                     = 25k² +10k -5 +2
                                     = 5(5k²+2k -1) +2 =5k' +2
donc le reste de la division euclidienne de n²-4n par5 est 2
si n=5k+4 , n²= 25k²+40k+ 16 ; donc n²-4n = 25k²+40k +16 - 20k-16
                                          = 25k² +20k
                                          = 5(5k² +4k) = 5k'
                                                         avec k'= 5k²+4k
donc n²-4n est multiple de 5
c) d'apres les resultats precedents , le reste de la division euclidienne de n²-4n par 5 est egal à 2 dans les deux cas : n=5k+1 ou n=5k+3