Bonjour

Tu as oublié que exp((h/ln(h+1))=exp(h)+exp(ln(h+1))=exp(h) / (h+1)

Bonne suite

Pourrait-on savoir pouquoi "exp((h/ln(h+1))=exp(h)+exp(ln(h+1))=exp(h) / (h+1)" serait vraie ?

Je corrige d'abord mon erreur de signe :  exp((h/ln(h+1))=exp(h)-exp(ln(h+1))

Par définition de la fonction inverse (quand elle existe) f^-1(x) de la fonction f(x), on a TOUJOURS f^-1(f(x))=f(f^-1(x))=x

La fonction exp(x) admet ln(x) comme fonction inverse.
En conséquence de quoi et sous réserve que x soit strictement positif, on a TOUJOURS exp(ln(x))=x

Application ici : exp(ln(x+1))=x+1 etc...

Bonne suite

Bonjour

Bon, j'efface et je prends un autre chemin.
ln(1+h)=h-h²/2+h³/3+o(h³)
h/ln(1+h)=1/(1-(h/2-h²/3+h³/4)+o(h³))
exp(h/ln(1+h))=exp(1/(1-(h/2-h²/3+h³/4)+o(h³))
              =exp(1+(h/2-h²/3+h³/4)+(h²/4-h³/3)+h³/8+o(h³))
              =e.exp(h/2-h²/12+h³/24+o(h³))
              =e.((h/2-h²/12+h³/24)+(h²/4-h³/12)/2+h³/8/6+o(h³))
              =e.((h/2+h²/24+h³/48)+o(h³))=e.h.((1/2+h/24+h²/48)+o(h³))
              =e.h.(1/2+h/24+h²/48)+o(h³)

Bonne suite

Merci beaucoup d'avoir répondu, je ne comprend pas comment vous passez de:
exp(h/ln(1+h))=exp(1/(1-(h/2-h2/3+h3/4)+o(h3)) à
=exp(1+(h/2-h2/3+h3/4)+(h2/4-h3/3)+h3/8+o(h3))

Merci.

On développe 1/(1-), avec =h/2-h²/3+h³/4+o(h³) :
1/(1-)=1++²+³+o(³)
1/(1-(h/2-h²/3+h³/4+o(h3))=1+(h/2-h²/3+h³/4)+(h/2-h²/3+h³/4)²+(h/2-h²/3+h³/4)³+o(h³)
En se limitant aux termes h³, on obtient:
1+(h/2-h²/3+h³/4)+(h²/4-h³/3)+(h³/8)+o(h³)

c'est-à-dire : 1+h/2-h²/12+h³/24+o(h³)

Sauf dernière erreur...

Bonne suite

ok, mais quand vous développez: (h/2-h2/3+h3/4)^2 qui est de la forme (a-b+c)², il faut aussi prendre en compte les doubles produit non? (2ab etc..)?

Non, j'ai compris, je reprend,

(x-1)/ln(x) = 1/(1- h/2 + h²/3)
On pose X = h/2 - h²/3
1/(1-X) = 1+ X + X² + X²(X).
= 1+ (h/2 - h²/3)+ (h/2 - h²/3)² + (h/2 - h²/3)²(h/2 - h²/3).

On demande le Dl à l'ordre 2 donc:
= 1+ (h/2 - h²/3)+ h²/4 +(h/2 - h²/3)²(h/2 - h²/3).
Comment simplifier (h/2 - h²/3)²(h/2 - h²/3)?

Je me méfierais de la manière dont tu utilises la "fonction" .

1/(1-X)=1+X+X²+(X²)
ou : 1/(1-X)=1+X+X²+X²

mais pas 1/(1-X)=1+X+X²+X²(X)

(Xⁿ) signifie "résidu dont la valeur absolue tend vers 0 infiniment plus vite que Xⁿ"

Tu dois donc utiliser (X²), ou à la rigueur X²

Ensuite, X valant (h/2-h²/3), (X²) doit être assimilé à (h²), les autres termes faisant intervenir des puissances de h supérieures à 2, donc décroissant infiniment plus vite vers 0 que h² quand h tend vers 0.

Le DL à l'ordre 2 s'écrit : 1+(h/2-h²/3)+h²/4+smb]epsilon[/smb](h²)
autrement dit : 1+h/2-h²/12+smb]epsilon[/smb](h²)

Bonne suite

Merci, je ne vois pas ce que l'on peut en conclure pour le graphe de la fonction f(x) au voisinage de 1 (position par rapport à la tangente).

J'ai trouvé:
exp ( 1+ h/2 - h²/12) = 35/24 - (11/12)x - x²/24 +x²(x).