Bonjour,

Pose x_n = (2n+1)/2 + h, et détermine h par un DL de arctan(x_n) en utilisant la relation arctan(x) + arctan(1/x) = /2

je viens d'essayer je vois pourquoi il faut faire ça mais par contre je ne tombe pas sur le bon résultat.
je ne trouve pas d'ou vient ce -1/(n) + o(1/n)

As-tu pris la bonne détermination de signe pour /2 ? Essaye avec les deux, vois si l'une des deux te rapproches de ton résultat, et justifie à postériori que tu as pris la bonne...

Mais le problème ne viens pas de là, pour ça j'avais laissé +ou- comme ça je n'était pas embétée. Par contre le problème c'est que je trouve h=1/x_n + o(1/x_n²) et ce n'est pas du tout ce que je voulais...
Si tu veux bien m'en dire un peu plus sur la détermination de h, peut-être ai-je fais une erreur de raisonnement...
Merci d'avance

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît, je suis vraiment coincée
Merci

Si quelqu'un a un peu de temps pour me répondre ça serai vraiment gentil.
Merci d'avance

Xn = n*Pi + Arctg Xn <==> Tg Xn = Xn

Ici Arctg Xn + Arctg 1/Xn = + Pi/2 car les abscisses des points d'intersection sont positives

d(Arctgx)/dx=1/(1+(x^2)) EQ 1 - x^2 + x^4 au voisinage de 0

==> Arctgx EQ x - (x^3)/3 + (x^5)/5 au voisinage de 0

==> Artcg (1/Xn) = + Pi/2 - Arctg Xn EQ 1/Xn (premier ordre suffit)

Mais Arctg Xn = Xn - n*Pi

Donc Pi/2 - Xn + n*Pi EQ 1 / Xn

Donc Pi/2 - ( (n+1/2)*Pi + h ) + n*Pi EQ 1 / ((n+1/2)*Pi) (1)

En remplacant Xn par son équivalent (hypothèse) = ((n+1/2)*Pi)
Si on remplace Xn par ((n+1/2)*Pi) + h le résultat est le même pour le coefficint de (1/n) mais ici j'utilise l'hypothèse que tu me donnes.

Mais 1/(n+1/2) = (1/(n(1+1/(2*n)) EQ (1/n)*(1-1/(2*n))

en utilisant DL ordre 1 de de (1+u)^m avec u=1/(2*n) --> 0

Et donc (1) ==>

Pi/2 - n*Pi - Pi/2 - h + n*Pi EQ (1/Pi*n)*(1-1/(2*n))

==> - h EQ (1/Pi*n) - 1/(2*Pi*n^2)

==> h = (-1/n*Pi) + o(1/n^2)

J'ai fais çà vite fait mais je pense que c'est bon. Tu me diras.

Bonjour,

La relation
    x_n = n. + arctan(x_n)
nous montre que, pour n1, x_n > 0. Il s'ensuit que :
    arctan(x_n) + arctan(1/x_n) > 0
et donc:
    arctan(x_n) + arctan(1/x_n) = /2   (1)

Notons aussi que
    arctan(x_n) ]-/2 , /2[
et donc que
    arctan(x_n) = o(n)
Par suite,
    1/x_n = 1/(n.) + o(1/n)
donc :
    arctan(1/x_n) = 1/(n.) + o(1/n)

Alors  (1)  s'écrit :
    /2 = x_n - n. + 1/(n.) + o(1/n)

On transpose et on a le résultat.

merci beaucoup à vous 2