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DM asymptotes
Bonjour a tous,
Sa fait moins d'une semaine que je suis rentrée et déja un DM qui me bloque!!
alors voila enfaite il faut trouver une fonction avec l'ennoncé::
"
Dans un repère orthonormal (O; i, j)
La courbe représentative dans ce repère est symetrique par rapport à l'origine et possède exactement trois asymptotes: 2 asymptotes verticales et une oblique d'équation y=x.
Cette courbe possède d'autre part au point A(1;-1) une tangente horizontale. "
1- Proposer une fonction dont cette courbe pourrait être la courbe représentative.
Bon alors voila la je suis perdue, je ne sais pas si il y a une méthode pour trouver mais je n'y arrive pas du tout après multiple essais!!
Merci si vous pouvez m'aider.
Bonjour a tous,
Sa fait moins d'une semaine que je suis rentrée et déja un DM qui me bloque!!
alors voila enfaite il faut trouver une fonction avec l'ennoncé::
"
Dans un repère orthonormal (O; i, j)
La courbe représentative dans ce repère est symetrique par rapport à l'origine et possède exactement trois asymptotes: 2 asymptotes verticales et une oblique d'équation y=x.
Cette courbe possède d'autre part au point A(1;-1) une tangente horizontale. "
1- Proposer une fonction dont cette courbe pourrait être la courbe représentative.
Bon alors voila la je suis perdue, je ne sais pas si il y a une méthode pour trouver mais je n'y arrive pas du tout après multiple essais!!
Merci si vous pouvez m'aider.
*** message déplacé ***
bonjour,
Tu cherches un fonction impaire,
d'asymptote oblique y = x
d'asymptotes verticales y = a et y = -a
Essaye avec cette fonction, qui satisfait ces trois premiers critères (A /= 0) :
f(x) = x + [A / (x² - a²)]
Pour trouver a et A, tu poses les deux conditions :
f(1) = -1 et f'(1) = 0
c'est un système de 2 équa à 2 inconnues,
qu'on résout plus facilement en posant les changements de variable suivants :
X = (1 - a²) et Y = (A + 1)
...
a et A sont des constantes... à déterminer
tu peux les appeler b et B si tu veux.
(A /= 0) veut dire : A différent de zéro.
...
Tu devrais être en train d'étudier les fonctions rationnelles : quotient de polynômes : P(x)/Q(x)
En fait je m'aperçois que j'ai mal recopié la fonction. Il s'agit de :
f(x) = x + [Ax / (x² - a²)]
...
non je ne suis pas entrain d'etudier ces fonctions..
mais je comprend comment tu trouve cette fonction, il y a une methode ?
parcqu'on n'a pas de précision dans l'enoncé ...
ok. Je te donnes mon raisonnement en plusieurs étapes.
1 - On cherche un fonction f(x) qui admet une asymptote oblique,
donc f(x) = x + g(x), avec lim g(x) = 0 quand x --> +oo et -oo.
ok ??
...
2 - on cherche une fonction qui admet 2 asymptotes verticales.
Comme cette fonction est aussi impaire (courbe symétrique par rapport à 0),
les asymptotes sont également symétriques.
Une asymptotes verticale (y = a) est obtenue pour une fonction telle que lim f(x) = +/-oo quand x --> a (valeur finie).
Cette fonction n'est donc pas définie à l'abscisse (a) qui est une valeur interdite n'appartenant pas au domaine de définition.
une fonction de la sorte serait : 1 / (x - a)
Ici, il nous faut 2 asymptotes symétriques, donc une fonction de la sorte serait : 1 / [(x - a) (x + a)]
Combiné au premier critère, une fonction possible doit être de la forme : x + [1 / [(x - a) (x + a)]
ok ?? (c'est pas terminé !)
...
on part du prototype f(x) = x + [1 / [(x - a) (x + a)]
3 - notre fonction doit être impaire,
cad que quelque soit x du domaine de définition f(-x) = -f(x).
ici, elle ne l'est pas. on la rend impaire en introduisant un x dans le 2° membre de l'expression,
et pour rester le plus général possible, en introduisant A*x.
f(x) = x + [A x / [(x - a) (x + a)] avec A constante quelconque (A /= 0)
on vérifie bien que le premier critère est respecté,
cad que : lim [Ax / [(x - a) (x + a)] = 0 quand x --> +/- oo.
ce qui est vrai car le degré du pôlynome du numérateur (degré 1)
est inférieur au degré du pôlynome du dénominateur (degré 2).
ok ??
...
f(x)
= x + [A x / [(x - a) (x + a)]
= x + [A x / (x² - a²)]
4 - il reste maintenant à trouver les valeurs des constantes A et a,
tels que la dernière condition soit satisfaite, cad que :
"Cette courbe possède d'autre part au point A(1;-1) une tangente horizontale."
Cette dernière condition s'exprime par : f(1) = -1 et par f'(1) = 0
Pour trouver a et A, tu poses les deux conditions :
f(1) = -1 et f'(1) = 0
c'est un système de 2 équa à 2 inconnues,
qu'on résout plus facilement en posant les changements de variable suivants :
X = (1 - a²) et Y = (A + 1)
...
bonsoir,
il est bien tard mais voici quelques indications
a)la courbe est symétrique par rapport à l'origine=>la fonction est impaire
b)la courbe admet exactement deux asymptotes//y'oy du fait de la symetrie par rapport à O ces asymptotes sot symétriques par rapport à O leurs équations sont donc x=m et x=-m ce qui veut dire que la fonction n'est pas définie en m et en -m
c)la droite d'équation y=x est asymptote à la courbe donc f(x) =x+g(x) avec limg(x)=0 en +ou-oo
d)il faut encore écrire quef(1)=-1 et que f'(1)=0
on pourrait peut être chercher f(x) sous la forme f(x)=x+ax/(x²-m²) on a bien f non définie en m et en-m,impaire et en+ou-oo lim ax/(x²-m²)=0 il reste à ecrire la condition d) pour déterminer a et m
je ne sais pas si "ça marche"il faut calculer
*** message déplacé ***
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