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dm avec produit scalaire
j'ai un petit dm mais je galère pour le commencement.
on me dis "[AB] est un segment de longueur 6cm
le but de l'exercice est de determiner l'ensemble des points M (lieu géometrique) tels que MA/MB=2"
1-démontrer qu'il existe deux points M et deux seulement de la droite (AB) tels que MA/MB=2
(passer par les carrées scalaires) on note G et G' ces deux points et K le milieu de [GG']"
je suis parti sur:
MA=2MB
MA.MB=2MB²
AB=AM+MB
=MB-MA
AB²=(MB-MA)²
=MB²-2MA.MB+MA²
=MB²+MA²-2MA.MB
=MB²+MA²-2(MB²)
AB²=MB²+MA²-4MB²
AB²=-2MB²+MA²
d'où
MA²=AB²+2MB²
et
MB²=(AB²-MA²)/2
mais voila aprés je suis bloqué...
merci d'avances pour vos réponses
Bonjour,
tu écris :
MA=2MB
MA.MB=2MB²
Le souci, c'est que la première ligne concerne des longueurs, pas des vecteurs ! tu ne peux pas en déduire ton produit scalaire, il manque un cosinus qui peut-être égal à -1 si M est entre A et B.
un peu plus loin :
=MB²+MA²-2(MB²)
AB²=MB²+MA²-4MB²
il manque un 2 dans la parenthèse, en plus à la ligne suivante, tu as calculé 1-4=-2. On aurait plutôt eu AB²=MA²-3MB² (de toutes façons, le début n'est pas bon, alors ..)
Bonjour.
Je te propose deux méthodes.
1°) Méthode géométrique.
Soient (D) et (D') les perpendiculaires à (AB) passant respectivement par A et B.
Sur (D) on place C tel que AC = 2. Sur (D') on place D et E symétriques par rapport à B tels que BE = BD = 1.
Alors, par le théorème de Thalès, (CE) et (CD) rencontrent (AB) en deux points M et M' tels que :
MA/MB = 2 et M'A/M'B = 2.
2°) Méthode algébrique.
MA/MB = 2 <=> |x - a | = 2|x - b| <=> (x - a)² - 4(x - b)² = 0 <=> (-x - a + 2b)(3x - a - 2b) = 0
Il existe donc bien deux points M, dont les abscisses x' et x" sont données en fonctions de celles de A et B par :
En prenant A pour origine (a = 0) et B comme point unité (b = 1), on voit que :
M" est entre A et B, avec :
et M' est extérieur à [AB], avec :
A plus RR.
Bonjour
Une autre approche possible :
MA/MB = 2 équivaut à MA = 2MB
Donc si on ajoute la condtion M, A, B alignés on obtient
ou
Donc deux points de la droite (AB) répondent à la question : le barycentre des points pondérés (A,1),(B,2) et le barycentre des points pondérés (A,1),(B,-2)
sauf erreur
En passant par les carrés scalaires :
MA/MB = 2 équivaut à MA = 2MB donc à MA² = 4MB² (puisque ce sont des longueurs), autrement dit à MA²-4MB² = 0
Donc l'ensemble cherché est le cercle de diamètre [GG'] (qui coupe la droite(AB) en G et G')
.
Bonjour, Raymond et Littleguy,
Si notre ami(e) tient au carré scalaire, MA²-4MB² peut s'écrire ().(
) .
Peut-être l'indication sert-elle pour la question suivante qui serait "en déduire l'ensemble cherché" ?
En appelant G le barycentre de (A,1) (B,-2) et G' celui de (A,1) (B,2), : l'ensemble cherché est le cercle de diamètre [GG'] (propriété liée au triangle rectangle inscrit dans un cercle)
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