Niveau BTS

dm de maths sur les exponentielles

Posté par
lulu38 26-10-08 à 11:22

bonjour à tous!

Voilà j'ai un dm à faire et je coince sur une question fondamentale!Pouvez-vous m'aider s'il vous plait?
Déja la deuxième question c'est de calculer les dérivées de chaque fonction: (la première j'ai su me débrouiller)

fonction x(t)=2((4e^-6t)+e^-t)    y(t)=4((e^-t)-(e^-6t))

j'ai trouvé: x'(t)=-48e^-6t-2e^-t   forme simplifier 2e^-t((-24e^-5t)-1)
                y'(t)=-4e^-t+24e^-6t  forme simplifiée 4e^-t((6e^-5t)-1)

Et c'est à partir de la quetion 3 que je n'y arrive plus!il faut déterminer les valeurs de t les signes de x'(t) et de y'(t). Je sais pas la valeur de t pour le signe en faissant les inéquation parces que je tombe à chaque fois sur des formes négatives! et je sais qu'une exponentielles est toujours positive!

merci d'avance!

Posté par re : dm de maths sur les exponentielles 26-10-08 à 11:29

$x'(t)=2e^{-t}[-24e^{-5t}-1]$

x ' est le produit d'un facteur positif et d'un facteur négatif. Il est donc toujours négatif !

$y'(t)=4e^{-t}[6e^{-5t}-1]$

y ' est le produit d'un facteur positif et d'un autre qui lui n'a pas toujours le même signe ! Le signe de y ' est donc celui de $6e^{-5t}-1$ , qui lui dépend de la valeur de t !

Posté par dm de maths expo suite 26-10-08 à 11:43

est-ce que cela serait possible que tu me fases le détail.PArce que pour la première fonction(x'(t)) j'ai

-24e^-5t-1 (plus grande que) 0
à la fin je trouve
t(plus grand que) (ln(1/24))/5

et pour la fontion y't j'ai
6e^-5t-1(plus grand que) 0
é ala fin j'ai t (plus petit que ) -5ln (1/6)

Est ce que se serait possible d'avoir le détail stp et de savoir si c'est juste!!lol

Posté par re : dm de maths sur les exponentielles 26-10-08 à 15:58

Citation :
-24e^-5t-1 (plus grande que) 0
...
à la fin je trouve
t(plus grand que) (ln(1/24))/5

Je ne comprends pas ce que tu as fait !
$e^{-5t}$ est toujours positif

$-24e^{-5t}$ est donc toujours négatif

A fortiori, $-24e^{-5t}-1$ est par conséquent toujours négatif !

Donc : l'inéquation $-24e^{-5t}-1 > 0$ n'a pas de solution, puisque l'expression est toujours négative !

Pour y, on a :

$y(t)=4(e^{-t}-e^{-6t})$

Donc :

$y '(t)=4(-e^{-t}+6e^{-6t})=4e^{-t}[6e^{-5t}-1]$

$4e^{-t}$ étant positif, il reste à étudier le signe du facteur $6e^{-5t}-1$

Cherchons à quelle condition $6e^{-5t}-1\,>\,0$

$6e^{-5t}\,>\,1$

$e^{-5t}\,>\,\frac{1}{6}$

$-5t\,>\,\ln(\frac{1}{6})=-\ln(6)$

$5t\,<\,\ln(6)$

$t\,<\,\frac{\ln(6)}{5}$

Toi, tu trouves $t < -5\ln(\frac{1}{6})$ c'est à dire t < 8.959 environ
Moi, je trouve $t\,<\,\frac{\ln(6)}{5}$ c'est à dire t < 0.358 environ

Je constate que si t=0.35 alors $6e^{-5t}-1\,\approx\,0,04$
Je constate que si t=0.36 alors $6e^{-5t}-1\,\approx\,-0,008$
ce qui montre bien que l'expression change de signe entre 0.35 et 0.36

Alors que respecter ta condition t < 8.959 ne suffit pas, puisque 0.36 < 8.959 et que l'expression est bel et bien négative pour cette valeur !

Posté par re : dm de maths sur les exponentielles 26-10-08 à 18:20

ok merci beaucoup!J'ai compris grâce à toi!
Ma première intuition était la bonne mais j'ai préféré faire l'inverse!
Merci encore pour tout!

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