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dm equation différentielle
salut a tous,
voila j'ai 1 petit probleme avec ce dm
Merci de m'aider
Soit N0 le nombre de bactéries intoduites dans 1 milieu de culture a l'instant t=0( N0>0)
A)on considere que la vitesse d'accroissement des bacteries est proportionnelle au nombre de bacteries en presence
on note f(t)le nombre de bacteries a l'instant t. La fonction f est solution de l'equation y'=ay(ou a>0)
1) resoudre cette equation sachant que f(0)=N0
(jai trouvéf(t)=N0eat)
2)on note T le temps de doublement de la population
demontere que pour tout reel t positif, f(t)= N0e(t/T)*ln2
la je bloque
B)on change les bacteries de milieu
soit g(t) le nombre de bacteries a l'instant t , la fonction g est 1 fonction srictement positive et derivable sur [0:+
] qui verifie la relation
(E) g'(t)=ag(t)(1-(g(t)/M)) où M est 1 constante >0 et a le reel defini de la partie A
1)a demontrer que si g verifie la relation (E) alors 1/g est solution de l'equation (E') y'+ay=a/M
(c'est fait)
b resoudre (E')
(j'ai trouve 1/M+Ke-ax)
apartir de la je bloque
c Demontrer que si h est 1 sol de (E'), alors 1/h verifie (E)
2) on suppose desormais que g(t)=m/(1+Ce-at) où c est 1 constante superieure a 1
a determiner la limite de g en + l'infini et demontrer
0<g(t)<M
(j'ai trouver pour lim M mais je n'arrive pas a montrer l'inegalité)
b etudier le sens de variation de g (on peut utiliser E)
demontrer qu'il existe un reel unique t0 positif tel que g(t0) = M/2
c demontrer que g''=a(1-2g/M)g'
etudier le signe de g''
en deduire que la vitesse d'accroissement de nombre de bacteries est decroissante a partir de l'instant t0
exprimer t0 en fonction de a et C
d sachant que le nombre de bacteries a l'instant t est g(t) calculer le nombre moyen de bacteries entre les instants o et t0 en fonction de M et C.
voila je sais que c'est 1 peu long
Merci de m'aider
bonne journée a tous .
vous n'avez vraiment aucune idee?
je vous en prie aidez moi expliquer moi comment faire sil vous plait.
A)
2)
f(t)=No.e^(at)
Soit T le temps auquel le population a doublé:
2No = No.e^(aT)
2 = e^(aT)
aT = ln(2)
T = (1/a)*ln(2)
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B)
1c)
h solution de (E') --> h(x) = (1/M) + K.e^(-ax)
1/h(x) = 1/[(1/M) + K.e^(-ax)]
(1/h(x))' = aK.e^(-ax)/[(1/M) + K.e^(-ax)]² (1)
a.(1/h(x))*(1-(1/h(x))/M) = a./[(1/M) + K.e^(-ax)] * (1 - 1/[M.((1/M) + K.e^(-ax))]
a.(1/h(x))*(1-(1/h(x))/M) = a./[(1/M) + K.e^(-ax)] * (1 - 1/(1 + K.M.e^(-ax)))
a.(1/h(x))*(1-(1/h(x))/M) = a./[(1/M) + K.e^(-ax)] * ((1 + K.M.e^(-ax) - 1)/(1 + K.M.e^(-ax))
a.(1/h(x))*(1-(1/h(x))/M) = a./[(1/M) + K.e^(-ax)] * K.M.e^(-ax)/(1 + K.M.e^(-ax))
a.(1/h(x))*(1-(1/h(x))/M) = a./[(1/M) + K.e^(-ax)] * K.e^(-ax)/((1/M) + K.e^(-ax))
a.(1/h(x))*(1-(1/h(x))/M) = a.K.e^(-ax)/[(1/M) + K.e^(-ax)]²
et avec (1) -->
a.(1/h(x))*(1-(1/h(x))/M) = (1/h(x))'
soit : (1/h(x))' = a.(1/h(x))*(1-(1/h(x))/M)
Qui montre que 1/h(x) est solution de (E)
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2)
a)
g(t) = M/(1+C.e^(-at))
g'(x) = MC.e^(-at)/(1+C.e^(-at))²
Le dénominateur > 0 (à cause cu carré) et e^(-at) > 0 car une exponentielle est toujours positive -->
g'(x) a le signe de mC.
Comme C est une constante > 1 et donc positive et M est 1 constante >0, g'x) > 0 et g(x) est croissante.
On a donc g(0) <= g(x) <= lim(x->oo) g(x)
g(0) = M/(1+C) et cette valeurs est minimum si C est très grand , on a g(0) minimum = lim(C->oo) M/(1+C) = 0
Soit finalement: 0 <= g(x) <= M
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b)
On a montré dans le point précédent que g(x) est croissante.
g(t) = M/(1+C.e^(-at))
g(to) = M/2 -->
M/2 = M/(1+C.e^(-a.to))
(1+C.e^(-a.to)) = 2
e^(-a.to) = (1/C)
a.to = ln(C)
to = (1/a).ln(C)
Comme a et C sont déterminés dans un problème donné, la valeur de to est unique dans ce problème.
Comme a > 0 et C > 1, to est positif.
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c)
g(t) = M/(1+C.e^(-at))
g'(t) = aMC.e^(-at)/(1+C.e^(-at))²
g''(t) = aMC.[-a.e^(-at).(1+C.e^(-at))²+e^(-at).2aC.(1+C.e^(-at)).e^(-at)]/(1+C.e^(-at))^4
g''(t) = aMC.[-a.e^(-at).(1+C.e^(-at))+2aCe^(-2at)]/(1+C.e^(-at))³
g''(t) = aMC.[-a.e^(-at)-a.C.e^(-2at))+2aCe^(-2at)]/(1+C.e^(-at))³
g''(t) = a²MC.[-e^(-at)+Ce^(-2at)]/(1+C.e^(-at))³ (2)
1-2g/M = 1 - 2/(1+C.e^(-at))
1-2g/M = (1+C.e^(-at) - 2)/(1+C.e^(-at))
1-2g/M = (C.e^(-at) - 1)/(1+C.e^(-at))
(1-2g/M)g' = [(C.e^(-at) - 1)/(1+C.e^(-at))]*aMC.e^(-at)/(1+C.e^(-at))²
(1-2g/M)g' = (C.e^(-at) - 1)*aMC.e^(-at) /(1+C.e^(-at))³
(1-2g/M)g' = aMC*(C.e^(-2at) - e^(-at)) /(1+C.e^(-at))³
a.(1-2g/M)g' = a²MC*(C.e^(-2at) - e^(-at)) /(1+C.e^(-at))³ (3)
(2) et (3) -->
g'' = a.(1-2g/M)g'
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Continue, c'est presque fini ...
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Sauf distraction. 
merci beaucoup
j'étais vraiment desesperee
bonne journée et merci encore
biz..
bonjour; j'ai le même exercice que soniya et dans une "partie C" on me demande : sachant que g(0) = N0= C et que M = 100N0,
montrer que g(t) = 100/ ( 1 + 99*4^-t)
données supplémentaires ; g(t)=M/(1+Ce-at)
merci d'avance
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