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Dm esponentiel

Posté par
gg1 24-10-07 à 15:46

Bonjour,

J'ai un dm de math mais je suis coincé.

voila le sujet:

1: On a etudié en laboratoire l'evolution d'une population de petit rongeurs. La taille de la population, au temps t, est notée g(t). On definit ainsi une fonction g de l'intervalle [0;+[ dans . La variable réelle t designe le temps, exprimé en années. L'unité choisie pour g(t) est la centaine d'individus. Le modele utilisé pour décrire cette evolution consiste à prendre pour g une solution, sur l'intervalle [0;+[, de l'équation differnecielle

(E1) y'=y/4

a: Resoudre l'équation differnecielle

REPONSE: j'ai trouvé g(x)=ke(x/4)

b: Déterminer l'expression de g(t) lorsque, à la date t=0, la population comprend 100 rongeurs, c'est à dire g(0)=1

REPONSE: J'ai trouvé g(x)=100e((x-1)/4)

2 En realité, dans un secteur observé d'une reigon donnée, un predateur empêche une telle croissance en tuant une certaine quantité de rongeurs. On note u(t) le nombre des rongeurs vivants au temps t (exprimé en années) dans cette région, et on admet que la fonction u, ainsi définie, satisfait aux conditions:
   (E2) { u'(t)= u(t)/4-(u(t))^2/12
          u(0)=1
pour tout nombre rél t positif ou nul, où u' désigne la fonction dérivée de la fonction u.

a: On suppose que, pour tout réel positif t, on a u(t) strictement superieur à 0. On cosidère, sur l'intervalle [0;+[ , la fonction h definie par h=1/u. Démontrer que la fonction u satisfait aux conditions (E2) si et seulement si la fonction h satisfait aux conditions
   (E3) {h'(t)=-1/4h(t)+1/12
         h(0)=1
pour tout nombre réel t positif ou nul, où h' désigne la fonction dérivée de la fonction h.

b: Donner les solutions de l'equation différentielle y'=-1/4y+1/12 et en déduire l'espression de la fonction h, puis celle de la fonction u.

REPONSE (incomplete): f(x)=ke^((-1/4)*x)+1/3
c: Dans ce modèle, comment se comporte la taille de la population étudiée lorsque t tend vers +


J'aimerais avoir votre avis sur les reponse 1a et 1b, et une aide pour faire la question 2a et la deduction de la question 2b

merci de votre part

Posté par
gg1Dm exponnentielle 24-10-07 à 15:46

Bonjour,

J'ai un dm de math mais je suis coincé.

voila le sujet:

1: On a etudié en laboratoire l'evolution d'une population de petit rongeurs. La taille de la population, au temps t, est notée g(t). On definit ainsi une fonction g de l'intervalle [0;+[ dans . La variable réelle t designe le temps, exprimé en années. L'unité choisie pour g(t) est la centaine d'individus. Le modele utilisé pour décrire cette evolution consiste à prendre pour g une solution, sur l'intervalle [0;+[, de l'équation differnecielle

(E1) y'=y/4

a: Resoudre l'équation differnecielle

REPONSE: j'ai trouvé g(x)=ke(x/4)

b: Déterminer l'expression de g(t) lorsque, à la date t=0, la population comprend 100 rongeurs, c'est à dire g(0)=1

REPONSE: J'ai trouvé g(x)=100e((x-1)/4)

2 En realité, dans un secteur observé d'une reigon donnée, un predateur empêche une telle croissance en tuant une certaine quantité de rongeurs. On note u(t) le nombre des rongeurs vivants au temps t (exprimé en années) dans cette région, et on admet que la fonction u, ainsi définie, satisfait aux conditions:
   (E2) { u'(t)= u(t)/4-(u(t))^2/12
          u(0)=1
pour tout nombre rél t positif ou nul, où u' désigne la fonction dérivée de la fonction u.

a: On suppose que, pour tout réel positif t, on a u(t) strictement superieur à 0. On cosidère, sur l'intervalle [0;+[ , la fonction h definie par h=1/u. Démontrer que la fonction u satisfait aux conditions (E2) si et seulement si la fonction h satisfait aux conditions
   (E3) {h'(t)=-1/4h(t)+1/12
         h(0)=1
pour tout nombre réel t positif ou nul, où h' désigne la fonction dérivée de la fonction h.

b: Donner les solutions de l'equation différentielle y'=-1/4y+1/12 et en déduire l'espression de la fonction h, puis celle de la fonction u.

REPONSE (incomplete): f(x)=ke^((-1/4)*x)+1/3
c: Dans ce modèle, comment se comporte la taille de la population étudiée lorsque t tend vers +


J'aimerais avoir votre avis sur les reponse 1a et 1b, et une aide pour faire la question 2a et la deduction de la question 2b

merci de votre part

Posté par
gg1re : Dm esponentiel 24-10-07 à 15:48

desolé pour le double poste, j'ai fait une fausse manipulation

Posté par
cailloux Correcteurre : Dm esponentiel 24-10-07 à 16:12

Bonjour,

Pour la 1)b) g(0)=1\Longrightarrow k=1 et g(t)=e^{\frac{t}{4}}

Il est préférable d' utilser la variable t (le temps)

Je regarde la suite...

Posté par
cailloux Correcteurre : Dm esponentiel 24-10-07 à 16:30

2)a) Avec u(t)>0, h=\frac{1}{u}\Longleftrightarrow u=\frac{1}{h} et u'=-\frac{h'}{h^2}

(E_2)\Longleftrightarrow \{-\frac{h'(t)}{h^2(t)}=\frac{1}{4h(t)}-\frac{1}{12h^2(t)}\\h(0)=\frac{1}{u(0)}=1\}\Longleftrightarrow\{h'(t)=-\frac{1}{4}h(t)+\frac{1}{12}\\h(0)=1

b) h(t)=ke^{-\frac{t}{4}}+\frac{1}{3} est solution générale de y'=-\frac{1}{4}y+\frac{1}{12}

h(0)=1\Longrightarrow k+\frac{1}{3}=1 soit k=\frac{2}{3}

d' où h(t)=\frac{1}{3}(2e^{-\frac{t}{4}}+1)

et u(t)=\frac{1}{h(t)}=\frac{3}{1+2e^{-\frac{t}{4}}}

c) \lim_{t\to +\infty}u(t)=3 la population tend vers 300 individus.

Posté par
gg1re : Dm esponentiel 24-10-07 à 18:04

Merci,

pour la question 1b, je ne comprend pas pourquoi tu peut affirmé que g(0)=1 donc k=1
car avec les formules du cours tu obtient sa:

g(0)=ke^(1/4)

or au temps g(0) il y a 100 rongeurs

donc 100=ke^(1/4)
      k=100/(e^(1/4))

Peut ut me dire où st mon erreur?

Posté par
cailloux Correcteurre : Dm esponentiel 24-10-07 à 18:12

Re,

L' énoncé dit:

Citation :
L'unité choisie pour g(t) est la centaine d'individus.


Citation :
la population comprend 100 rongeurs, c'est à dire g(0)=1


D' autre part, quand on écrit g(0)=1, il faut remplacer t par 0 (et non pas par 1 comme tu l' as fait).


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