Bonjour tout le monde,
voici un DM que je dois faire pour les vacances. Ça serait vraiment sympa que vous me corrigiez, je vous remercie beaucoup d'avance

ÉNONCÉ
Exercice 1 :
Diagramme de Venn est utilisé pour représenter les ensembles, comme le font souvent les professeurs au tableau pour représenter les unions et les intersections. Par exemple si on veut représenter 2 ensembles A et B avec un diagramme de Venn, on a 3 situations possibles : voir Exercice 1/Diagramme de Venn dans l'image en bas du message.

1) Tracer un diagramme de Venn en plaçant dans ce diagramme les ensembles suivants :
T = Triangles ; E = triangles équilatéraux ; I = triangles isocèles ; R = triangles rectangles

2) Tracer un diagramme de Venn en plaçant dans ce diagramme les ensembles suivants :
Q = Quadrilatères ; T = Trapèzes ; P = Parallélogrammes
R = Rectangles ; C = Carrés ; L = Losanges

Exercice 2 :
ABC est un triangle, M et N sont les milieux respectifs de [ AB ] et de [ AC ] (voir Exercice 2 dans l'image en bas du message) :

1) Dans cette question on suppose que P est le milieu de [ BC ] :
Montrer que AMPN est un parallélogramme : que déduire de [ AP ] et de [ MN ] ?

2) Dans cette question, P est un point quelconque de (BC) (donc a priori, P n'est pas le milieu de [ BC ] )
Montrer que ( MN ) coupe [ AP ] en son milieu.

Exercice 3 :
A, B, C sont trois points d'un cercle (E). La bissectrice de coupe (E) en I (voir Exercice 3 dans l'image en bas du message) :

1) En utilisant les relations d'angles dans (E), montrer que BCI est isocèle en I.
2) Soit O le centre du cercle (E) et M le milieu [ BC ] : justifier que O, M, I sont alignés.
3) Application : soit A, B, C 3 points d'un cercle de centre O : expliquer comment tracer la bissectrice de en utilisant uniquement une règle graduée (donc sans rapporteur ni compas).

MES RÉPONSES
Exercice 1 :
1) Voir Exercice 1/1) dans l'image en bas du message
2) voir Exercice 1/2) dans l'image en bas du message

Exercice 2 :
1) Dans ABC, on sait que M est le milieu de [AB] et que P est le milieu de [BC] (énoncé).
Donc le théorème des milieux s'applique : (MP)(AC) et MP=(1/2)AC.
On sait que N est le milieu de [AC] (énoncé).
MP=(1/2)AC=AN
Donc MP=AN.
Puisque N est le milieu de [AC], N(AC). Comme (MP)(AC), MPAN.
On sait que dans AMPN, MP=AN et MPAN.
Donc AMPN est un parallélogramme.

On sait que AMPN est un parallélogramme, donc ses diagonales se coupent en leur milieu.
Donc [AP] et [MN] se coupent en leur milieu.

2) Dans ABC, on sait que M est le milieu de [AB] et que N est le milieu de [AC] (énoncé).
Donc le théorème des milieux s'applique : (MN)(BC) et MN=(1/2)BC.
Puisque P(BC) et que (MN)(BC), (MN)(BP)
On sait que M est le milieu de de [AB] et que (MN)(BC).
Donc la réciproque du théorème des milieux s'applique : (MN) coupe [AP] en son milieu.

Exercice 3 :
1) Les angles inscrits au cercle (E) et interceptent le même arc IC, donc d'après le théorème de l'angle inscrit, .
Les angles inscrits au cercle (E) et interceptent le même arc BI, donc d'après le théorème de l'angle inscrit, .

On sait que (AI) est la bissectrice de , donc .

Donc .

Dans BCI, on sait que .
Donc BCI est un triangle isocèle en I.

2) On sait que BCI est un triangle isocèle en I et que M est le milieu de [BC]. Donc (IM) est la médiane issue de I. Or dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est également la médiatrice issue de ce sommet. Donc (IM) est la médiatrice du triangle BCI issue de I.

On sait que B,C,I sont situés sur le cercle (E). Donc (E) est le cercle circonscrit au triangle BCI et O est le centre de cercle. Or le centre du cercle circonscrit à un triangle est l'intersection des trois médiatrices de ce triangle. Puisque (IM) est une médiatrice du triangle BCI et que O est le centre du cercle circonscrit au triangle BCI, alors O(IM). Donc les points I,M,O sont alignés.

3)
Construisons M le milieu de [CB] puis I l'intersection entre (OM) et le cercle de centre O.
(IA) est la bissectrice de .

Fini. Donc DM relativement simple dans l'ensemble excepté le 2) de l'exo 3 où il m'a fallu pas mal de temps pour trouver comment démontrer de manière simple que O,M,I sont alignés. mais comme nous ne sommes jamais à l'abris d'une erreur, je vous demande de me corriger et surtout de critiquer mes méthodes/rédaction

Pour finir voici l'image qui complète l'énoncé ainsi que l'exercice 1 :

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