Je recopie actuellement l'énoncé.

bonsoir

Je suppose que pour la première question il s'agit de montrer que :
Si f est continue et positve sur [a,b] telle que alors f=0 sur [a,b]

Je te donne une indication (puisqu' a ce qui parait il faut juste donner des indications)
Considère une primitive F de f sur [a,b] (qui existe puisque f continue sur [a,b]) et montre que F est constante ... je te laisse continuer

L'objet du problème est d'établir l'irrationalité de et d'étudier des méthodes élémentaires permettant d'obtenir une valeur approchée de .

Rappels et notations:

-Si P est une application polynomiale et k un entier naturel, on définir la dérivéé de P à 'ordre k notée P^kpar récurrence:
Si k=0 P⁰=P et pour k0 P^k+1=(P^k)'
-On rapelle que si P est une application polynôme non nulle de degré n elle admet au plus n racines.
-On rapelle que si (u_n) est une suite numérique tendant vers 0 alors on a la phrase quantifiée
(>0)(N) tel que si nN alors |u_n|

Préliminaires

1.On considère f une application continue sur[a,b], on suppose f est positive et que =0.
En étudiant les variations de x-> montrer que f est identiquement nulle sur [a,b].

2.Montrer que si P est une application polynôme de signe constant sur [0,] et si =0 alors P est identiquement nulle sur .

3.On considère une suite (u_n) de nombres entiers tendant vers 0 montrer qu'a partir d'un certain rang N u_n=0.

Premiere partie(irrationnalité de )

Pour n un entier positif ou nul, p et q deux entiers strictement positifs on note T_n l'application polynôme définie par :
(x) T_n(x)=xⁿ(qx-p)ⁿ
(On remarquera que T₀=1)

1.(a) Montrer que pour tout entier n1 et tout réel x :
T_n^'(x)=T_n-1(x)(2qx-p)

(b) Montrer que pour tous les entiers n1 et k1et pour tout réel x :
T_n^k+1(x)=T_n-1^k(x)(2qx-p)+2qkT_n-1^k-1(x)

(c) En déduire que pours tous entiers k0 et n0 les nombres T_n^k(0) et T_n^k(p/q) sont des nombres entiers.

2,3... Je mettrais le reste du dm apres avoir compris jusqu'ici.

Bonjour

1: si f est positive, sa primitive est croissante. Regarde sa valeur en a et b et conclus.

2: tu fais deux cas (qui s'excluent) suivant le signe de P(x), qui est continue. La question 1 donne la conclusion.

3: Je ne sais pas ce qu'est N, mais je suppose qu'il est un entier positif fixé. Alors:

Bon, oublie le du début...

bonjour
4-
il suffit de derriver et factoriser

Merci Jeanseb, du coup pour la 1. Sachant que cette primitive est la seule de f s'annulant en a F(a)=0 et F(b) est donné dans la question comme nul également .Du coup avec un tableau de variation F serait croissante de a à b à valeur dans [0;0].Et est ce que à partir de la je peux conclure que F est constante, comme me le conseillais et je l'en remercie Matouille.Psk si oui je dis ensuite que F= cst -> f,sa dérivé, nul et donc f est " identiquement nul sur [a;b].

2.Ici par contre je vois mieux mais pas encore assez clair: Si je prend P(t)>0 alors P(t)sin(t)>0 et j'applique la règle du 1 MS je ne peu conclure que : P(t)sin(t) identiquement nul sur [0;
] et à la limite si c'est identiquement nul , peu être que,cela implique P(t) nul car sin(t) lui ne l'est pas tout le temps.
Se pose le problème de l'intervalle je ne comprends pas comment une généralisation sur est possible et le cas de P(t)<0 qui donnerait P(t)sin(t)<0 et donc empècherait l'application de la règle du 1.

3.Je comprends le cheminement à l'exeption de 2 détails:
-D'abord pour conclure est ce que
" N étant un entier positif si son produit avec |u_n| étant nul implique |u_n| nul " suffit?
-Ensuite d'où te viens l'idée d'introduire un entier M tq |u_n|< 1/N.Du moins je suppose que cela vient de la conclusion qui t'a amené à avoir par la suite <1 ( la fin justifie les moyens ^^) ms je ne vois pas non plus comment justifier l'éxistence d'un tel M.Peu être psk à partir d'un certains temps une suite qui tend vers 0 devient <1/2 ou 1/3 ms le justifier revient a justifier directement qu'elle est <1.(enfin bon voila ce que j'en pense ...)

5-
utilise la recurrence et derrive l'expression à demontrer

1 c'est bon

2 tu considères -P(t) sin t . Elle est donc positive, tu utilises le 1, tu conclus qu'elle est identiquement nulle, et donc son opposée aussi.

3
a)ton N est strictement positif car si il est nul la question est triviale!

Donc N|un| = 0 implique |un| = 0 (division par N) et donc un = 0

b)ton idée est juste: un tend vers 0, donc étant donné, il existe M tel que pour tout n > M, |un|<   (definition de la limite nulle)

tu appliques cette définition à = 1/N. C'est tout!

il faut utiliser la recurence sur  k et non sur n
pour 5-
pose x=0 ensuite x=p:q.
somme membre à membre les expression et utilise la recureence avec le theoreme de BEZOUT et conclus

Pour la 2.Je fais le cas de P(t)>0 j'applique la 1. J'ai donc P identiquement nul sur [0;] si P(t)>0
Si P(t)<0 alors -P(t)>0 et =0 j'applique la 1. J'en déduis que -P(t) est identiquement nul sur [0;] et donc que son opposé l'est aussi.
Du coup j'ai pour P(t)<0 et P(t)>0. Ms comment généraliser à ? Puisque selon la 1. c'est vrai que sur [0;] ?

3.

Citation :
il existe M tel que pour tout n > M, |un|<   (definition de la limite nulle)

tu appliques cette définition à = 1/N. C'est tout!

bonsoir
pour répondre à la question 1 ne faudrait-il(?) pas raisonner par l'absurde:s'il existe c tel f(c)>0 (a<=c<=b)alors on peut trouver un intervalle I=[c-;c+]sur lequel f(x)>0 d'après la continuité de f donc  de f sur I est>0 donc contradictoire avecde f sur [a,b](>=de f sur I) supposée nulle.

Oui, niparg, c'est bon aussi comme ça, mais l'énoncé demande de démontrer directement avec la croissance.

Alors : Jeanseb pour la 2. je comprends ta méthode de généralisation de l'ensemble et je te demanderais pour conclure sur cette question de m'indiquer en quoi cette méthode est ultra-utilisé?Cela pourra certainement me servir pour plus tard ^^
Pour la 3 Je suis d'accord avec le epsilon 1/2N j'aurais N.Un 1/2 mais entier donc nul et désolé que tu ais pensé que je pinaillais ce n'étais pas le cas car soit je comprends pas soit avec 1/N on ne peu résoudre le pb :s
DM can go on ?

Bonsoir à niparg et merci de ton intervention .Je comprend ta méthode je dirais même qu'il y en a une autre: Dans une intégrale ( qui est une somme d'aire) nul les aires au dessus et en dessous de l'axe des abcisses sont symétrique or ici f est positive il n'y a donc pas de partie "négative" de l'intégrale pour "contrebalancer" la partie "positive" et avoir l'intégrale nul, f est donc identiquement nulle sur [a,b].
Ms je crois que ces méthodes ne sont pas accepté dans la mesure ou on nous demande EN ETUDIANT les variations de F(x)=Int a->b f(t) dt

Ah jsuis trop lent

On peut m'aider pour la suite ?

UP s'il vous plais ? ( si j'ai bien compris le principe )

Pour la 1a :

* Ecris Tn-1

* Dérive Tn en utilisant la formule (uv)' = uv'+u'v . Factorise ce qui est commun, et tu verras qu'il reste exactement 2qx - p dans le dernier facteur.cqfd

Tres bien je note pour mes futures démonstrations polynomiales nulle

Dériver Tn ? Mais la seul forme de Tn que j'ai c'est xⁿ (qx-p)ⁿ , ne faut il pas que je fasse une réccurence avec une dérivé de T_n+1 ? Enfin comme ce que j'ai fais précédement jette un oeil à mes étapes de calcule il doit y avoir une erreur car je ne trouve pas cette factorisation

JE suis un idiot fini-_- j'oubliais à chaque fois un petit bout il faut que j'apprene  à me reconcentrer pleinement...
Pour la 1(a) j'y suis c'est bn .

Pour la 1(b) je pense que mon pb vient plus d'une incompréhension des notations que d'un calcule ( que je n'arrive pas à faire sans comprendre ).Pense tu pouvoir m'aider ?

La 1(c) je vais me repencher sur l'explication de Milton bien que je manque de détail pour comprendre sa démarche :s

Bonjour à tous, j'ai le même devoir à faire (d'ailleurs kof tu serais pas à Saint-Louis par hasard?). J'ai réussi à faire 1 2 3 1a 1b mais pour le 1c je suis un peu bloqué :s. On a Pn(0)=Pn(p/q)=0 pour tout n entier naturel mais je vois pas en quoi ça nous montre que Tn^k(0) et Tn^k(p/q) sont des entiers    .

Allo

Ouep Moi c'est Clem et toi tu dois etre ... un de mes camarades dont le nom m'échappe XD

D'ailleurs je bug sur la 1b)
J'essaye de faire une récurrence et de prouver T_n+1^k+1(x)=...
en disant que T_n+1^k+1(x)=(T_n+1^k(x))'
et en utilisant 1a) (T_n+1^k(x))'=T_n^k(x).(2qx-p)
Apres peu etre utiliser la propriété au rang n , ça donne:
T_n^k(x).(2qx-p)=[T_n-1^k-1(x).(2qx-p)+2qkT_n-1^k-2(x) ].(2qx-p) Ms apres

comme l'a dit milton il faut utiliser la récurrence sur k et non sur n. Sinon moi c'est Max ^^.

Ahah dac merci jv tacher de faire ça, et Max Maxime ça me dit rien arf jsuis vraiment nul on vera ça quand le prof de physique fera l'apel Lundi XD

Ala c'est fait, maintenent ce post a besoin d'un petit Up pour éclairer la réponse de Milton :

A combien de up a t on le droit