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Dm Maths

Posté par
magpie 06-11-07 à 11:42

On considère une fonction f dérivable sur R . Sa courbe représentative (C), son asymptote D en -oo et +oo, et sa tangente T en 0 d'équation : y = (1- e) x + 1 sont représentées dans le graphique ci-dessous.

Dm Maths

On suppose en outre que :
- le point J (0 ; 1) est centre de symétrie de (C)
- l'expression algébrique de f (x) est de la forme : f (x) = mx + p + g(x)

où g est une fonction telle que :
lim g(x) en + oo et en - oo = 0

Partie A :
2). Que valent m et p ?
3). Justifier que pour tout x réel, f (-x) + f (x) = 2.
4). En déduire que la fonction g est impaire puis que la fonction f est paire.
5). En admettant que g(x) soit de la forme : g(x) = (ax+b)e^-x² , déterminer alors, à partir de ce qui précède, les réels a et b.

Partie B :
On considère à présent que la courbe (C) représente la fonction f définie sur R par: f (x) = 1 + x - xe^(-x²+1)  1). Calculer f '(X).

2}. Etudier les variations de la fonction f ' sur l'intervalle [0 ; +oo[. Déduire à partir d'un résultat de la partie A les variations de f ' sur ]--oc ; 0]. Dresser ensuite le tableau de variations complet de f '.

3). Montrer que l'équation f '(x) = 0 admet une unique solution w dans l'intervalle [0 ; +oo[, puis que 0, 51 < w < 0, 52.

4). Après avoir exprimé f (w) sous la forme d'un quotient de deux polynômes, établir le tableau de variations de f sur [0 ; +oo[.

Edit Coll : image placée sur le serveur de l' Merci d'en faire autant la prochaine fois ! [lien]    

Posté par
magpieaide 06-11-07 à 11:48

j'ai oublié de vous dire que c'est surtout dans la partie A que je galère. Voilà je vous remercie d'avace pour toute aide

Posté par
magpiere : Dm Maths 06-11-07 à 13:52

help

Posté par
cailloux Correcteurre : Dm Maths 06-11-07 à 14:34

Bonjour,

A)2) La droite d' équation y=x+1 esy asymptote à (C) en -\infty et +\infty

et \lim_{x\to \pm\infty}g(x)=\lim_{x\to \pm\infty}[f(x)-(mx+p)]=0

La droite d' équation y=mx+p est donc cette asymptote et m=p=1

3) J centre de symétrie d' où \forall x\in\mathbb{R},\;\;\frac{1}{2}[f(x_J-x)+f(x_J+x)]=y_J

on en déduit: \forall x\in\mathbb{R},\;\;f(-x)+f(x)=2

4) g(x)=f(x)-x-1

g(-x)=f(-x)+x-1=2-f(x)+x-1=-[f(x)-x-1]=-g(x) et g est impaire.

Ensuite, tu as une erreur dans l' énoncé: il faut démontrer que f' est paire et non pas f:

On dérive les 2 membres de l' expression f(-x)+f(x)=2

soit: -f'(-x)+f'(x)=0 et f'(-x)=f'(x)

f' est donc paire.

5) f(x)=x+1+(ax+b)e^{-x^2}

Comme (C) passe par J(0,1), f(0)=1 d' où 1+b=1 et b=0

D' autre part la tangente à (C) en J(0,1) a pour équation y=(1-e)x+1

donc f'(0)=1-e

f'(x)=1+a(1-2x^2)e^{-x^2} d' où f'(0)=1+a=1-e et a=-e

Finalement l' équation est: f(x)=1+x-ex.e^{-x^2}=1+x-xe^{1-x^2}

Posté par
magpiere : Dm Maths 06-11-07 à 15:10

Merci cailloux mais je comprend pas très bien comment tu fais à la 3).

Posté par
cailloux Correcteurre : Dm Maths 06-11-07 à 15:28

Quelque chose à savoir en Terminale:

Les conditions pour que I(a,b) soit centre de symétrie d' une courbe représentative d' une fonction f:

\{1)\forall x \,\text{\rm tel que}\, a+x\in D_f,\;\;a-x\in D_f\\2)\frac{f(a+x)+f(a-x)}{2}=b

La première condition est ici réalisée puisque f est définie sur \mathbb{R}

Pour cette question 3), j' ai simplement écrit la seconde condition au point J(0,1) centre de symétrie de la courbe.

Posté par
magpiere : Dm Maths 06-11-07 à 19:10

je vais peut-être avoir l'air con mais je vois pas à quoi correspond le signe : A à l'envers ?

je tiens à préciser que quiconque voudrait m'aider pour la partie B serait le bienvenue

Posté par
cailloux Correcteurre : Dm Maths 06-11-07 à 19:27

Re,

\forall x se lit "quel que soit x" ou "pour tout x"

Posté par
cailloux Correcteurre : Dm Maths 06-11-07 à 20:17

B) La fonction donnée est celle trouvée dans le A. Elle a toutes les propriétés vues dans le A et sa courbe est donnée.

1)f(x)=x+1-xe^{1-x^2} définie et dérivable sur \mathbb{R}

f'(x)=1+(2x^2-1)e^{1-x^2}

2) f''(x)=[4x-2x(2x^2-1)]e^{1-x^2}=-2x(2x^2-3)e^{1-x^2}

f''(x)=0 pour x=0 ou x=\sqrt{\frac{3}{2}} sur [0,+\infty[

sur [0,\sqrt{\frac{3}{2}}], f''(x)\geq 0 et f' est strictement croissante.

sur [\sqrt{\frac{3}{2}},+\infty[, f''(x)\leq 0 et f' est strictement décroissante.

On sait que f' est paire, donc:

sur ]-\infty,-\sqrt{\frac{3}{2}}], f' est strictement croissante.

sur [-\sqrt{\frac{3}{2}},0], f' est strictement décroissante.

3)f'(0)=1-e<0 f'(\sqrt{\frac{3}{2}})>0 et \lim_{x\to +\infty}f'(x)=1

sur [\sqrt{\frac{3}{2}},+\infty[, comme f' est continue et strictement décroissante, f'(x)>0

sur [0,\sqrt{\frac{3}{2}}], f' est continue et strictement croissante.

On peut appliquer le corollaire du TVI et il existe \alpha unique, \alpha\in [0,\sqrt{\frac{3}{2}}] tel que f'(\alpha)=0

Par encadrement successifs, on trouve 0.51<\alpha <0.52

4)On en déduit que:

sur [0,\alpha], f'(x)\leq 0 et f est décroissante.

sur [\alpha,+\infty[ f'(x)\geq 0 et f est croissante.

On a f'(\alpha)=0 soit 1+(2\alpha^2-1)e^{1-\alpha^2}=0

d' où e^{1-\alpha^2}=\frac{1}{1-2\alpha^2}

et f(\alpha)=\alpha +1-\alpha e^{1-\alpha^2}=\alpha+1+\frac{\alpha}{2\alpha^2-1}=\frac{2\alpha^3+2\alpha^2-1}{2\alpha^2-1}


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