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DM moyenne arithmétique =< moyenne quadratique

Posté par
teebaube 02-02-09 à 20:24

Bonjour, je dois démontré que :

(a1 + a2 + ... an)/n   =<   racine((a12 + ...  + an2)/n)

Je sais qu'on doit procéder par induction sur n mais je ne sais pas trop comment procéder.
Il est évident que c'est vrai pour n = 1
Mais comment prouver que c'est vrai pour (n+1) si c'est vrai pou n ????
Merci !!

Posté par
H_aldnoerre : DM moyenne arithmétique =< moyenne quadratique 02-02-09 à 20:31

Via Cauchy-Schwarz \Large (\Bigsum_{i=1}^na_i)\le \sqrt{(\Bigsum_{i=1}^na_i^2)}\sqrt{n} et donc \Large \frac{1}{n}(\Bigsum_{i=1}^na_i)\le \sqrt{(\Bigsum_{i=1}a_i^2)} \le \sqrt{(\Bigsum_{i=1}^na_i^2)}\frac{\sqrt{n}}{n} et comme \Large \frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n}, on en déduit le résultat.

Posté par
H_aldnoerre : DM moyenne arithmétique =< moyenne quadratique 02-02-09 à 20:32

Oups, le terme du milieu dans la seconde inégalité est à ne pas prendre en compte.

Posté par
robby3re : DM moyenne arithmétique =< moyenne quadratique 02-02-09 à 21:56

Salut,
en fait c'est une propriété de convexité de la fonction 5$ x\longrightarrow x^2
(en utilisant l'inégalité de convexité de Jensen...)

5$ \(\Bigsum_{i=1}^n \frac{1}{n}a_i\)^2\le \Bigsum_{i=1}^n \frac{1}{n}a_i^2 \Longleftrightarrow \frac{a_1+x_2+...+a_n}{n}\le \sqrt{\frac{a_1^2+...+a_n^2}{n}}
(car la fonction racine carrée est bijective et strictement croissante)


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