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dm parabole

Posté par
titi44 09-09-07 à 14:45

bonjours j'ai quelques petits probleme sur un exo de mon premier dm de maths merci de m'aider

soit (P) la parabole d'équation y=x^2
on désigne par AetB 2 points distincts de cette parabole d'abscisses respectives a et b(prendre des valeurs précises aux coordonnées des points A et B)
1)montrer qu'il existe un  seul point M ou la tangente est parallele a la droite (AB)
2)faites une conjecture sur les points A,Bet M à l'aide du graphique et démontrer cette conjecture
3)soit I milieu du segment [AB],(TA)et(TB) les tangentes a (P) en A et Brespectivement, et J le point d'intersection des doites (TA)et (TB)    comment sont disposés les points I,M et J?

merci de votre aide a bientot

Posté par
cailloux Correcteurre : dm parabole 10-09-07 à 13:40

Bonjour,

1) A(a,a^2) et B(b,b^2) avec a\not=b ( points distincts).

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe P au point d' abscisse x est f'(x)=2x
Le coefficient directeur de la droite (AB) est \frac{b^2-a^2}{b-a}=a+b

Pour que la tangente en M(x,x^2) soit parallèle à (AB), il faut que les coefficients directeurs soient égaux soit:

2x=a+b ou encore, x=\frac{a+b}{2}

On a donc M point unique avec M(\frac{a+b}{2},\frac{(a+b)^2}{4})

2) un petit dessin:
dm parabole
Il semblerait que M ait la même abscisse que le milieu I de [AB];
C' est le cas:
x_I=\frac{a+b}{2}=x_M

3) Cherchons l' équation de la tangente en A à P:

y=f'(a)(x-a)+f(a) avec f'(a)=2a et f(a)=a^2

Soit: (T_A):\;y=2ax-a^2

de même: (T_B):\;y=2bx-b^2

Point d' intersection J:

2ax-a^2=2bx-b^2 \Longrightarrow x=\frac{b^2-a^2}{2(b-a)}=\frac{a+b}{2}

d' où les coordonnée de I(\frac{a+b}{2},ab)

Les points I, M et J ont même abscisse: ils sont alignés.

Mieux: \frac{y_I+y_J}{2}=\frac{1}{2}(\frac{a^2+b^2}{2}+ab)=\frac{1}{2}(\frac{a^2+b^2+2ab}{2})=\frac{(a+b)^2}{4}=y_M

M est donc le milieu du segment [IJ]


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