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dm portant sur les fonctions
bonjour,
j'ai un dm pour la rentré et je bloque :
dans un repere (0,
,
), on considere le cercle C d'équation x²+y²=1 et le point I de coordonnées (1;0). M et N sont 2 points distincts du cerle C tels que (MN) soit perpenticulaire à (OI). on note x l'abcisse de M .
2) f est la fonction definie sur [-1;1] par .
a) calculer les valeurs de f aux bornes de son ensemble de definition .
--> je trouve : f(1)=f(-1)=0. c'est ca?
b) Calculer la limite de quand x tend vers 1.
--> 
0
x->1
x-1 0
x->1
Donc c'est une forme indeterminée. et je bloque...
c) Montrer que, pour tou x de ]-1;1], on a . en deduire lim
(x--> -1)
d) Etudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variations.
-->
aprés je n'y arrive plus.
merci de votre aide 
salut,
pour la question 2b, écris f(x)/(x-1), tu devrais voir qu'il y a des simplifications. Il n'y a alors plus d'indétermination.
Pour la question 2c, pas d'indétermination, combien trouves-tu pour la limite ?
Pour la dérivée :
dès la première ligne, pense à simplifier par 2 au niveau de la fraction
A la troisième ligne, au numérateur, développe le produit de racines puis simplifie le numérateur
Qu'obtiens tu ?
Ptitjean
petite erreur dans f'
le produit des racines ligne 3 donne (1-x²) et non 1-x
Tu vas obtenir un polynome de degré 2 au numérateur, avec 1 et -1/2 en racines évidentes
Une fois f' factorisé ainsi, je pense que tu dois pouvoir trouver le signe et faire la tableau de variation sans trop de problème.
Ptitjean
a oui j'ai oublié le carré !
donc
une racine est toujours positive donc f'(x) est du signe de
delta = 1+8 = 9 > donc 2 racines :
(1+3)/4= 1 et (1-3)/4= -1/2.
je trouve que f'(x) est decroissante sur [-1 ;1] .
t'es allé un peu vite
tu cherches le signe de f' (et non sa monotonie)
le signe de f' est le signe de (x-1)(2x+1)
Le signe change sur [-1, 1], donc f ne sera pas monotone...
Ptitjean
oui.
Tu peux maintenant déduire les variations de f
non elles ne sont pas interdites.
f est bien défini en -1 et 1 (cf question 2a)
Pouvez vous m'aider pour la quuestion 3)
3) Pour quelle valeur de x l'aire du triangle MNI est t'elle maximaleN quelle est cette aire ?
Voila, une petite aide serait sans refus
merci
avnt on me demander de calculer l'aire du triangle MNI en fonction de x.
mais je ne comprends pas bien ou je dois placer x...
bin x c'est une abscisse qqconque (que tu choisis comme tu veux) du point M donc tu peux placer un point M ou tu veux sur ton cercle (autant prendre M dans le quart ou x et y positifs)
du coup tu places aussi N symétrique de M /Ox
et H intersection de (MN) et (OI) ce point c'est moi qui le rajoute pour qu'on puisse causer
ok?
re-bonjour,
pour la 2b.
au numérateur tu peux écrire que (1-x)=-(x-1)
et (x-1) se simplifie avec le dénominateur.
La limite est facile a cacluler apres ca.
pour le 2c.
pour la simplifiaction, il faut remarquer que
et aussi que
Une fois écris, tu dois pouvoir simplifier ta fraction.
Ta limite est alors facile à déterminer.
Je regarde la question 3
pour la question 3, regarde que vaut l'aire du triangle en fonction de x.
Prends pour base MN et la hauteur issue de I.
Calcules alors les longueurs en fonction de x, à l'aide des coordonnées des points
Que remarques-tu ?
bonjour ptitjean
pour la 2b) j'ai trouvé 0 comme limite .
pour la 2c) j'ai trouvé +00 -> donc asymptote verticale .
c'est bon ?
par contre la 3 ...
Oui, donc j'ai essayé de le faire , mais mon probleme c'est que je ne suis pas :
est ce que je peux dire que MN = 2x ?
et H= Xi ? c'est asez bizare
les limites sont bonnes.
la conclusion de l'asymptote est vraie pour la fonctoin f(x)/(x+1)
En fait pour la 3
En appelant H le pieds de la hauteur (soit l'intersection de l'axe des abscisses et de (MN))
les coordonnées des points sont alors
I(1,0)
H(x,0)
M(x,y)
N(x,-y)
Que vaut y ici, avec M et N sur le cercle ?
ah , donc H et x sont confondus ?
y, c'est l'ordonnée . je crois qu'il faut faire appelle au sinus et cosinus non?
alors H et x ne sont pas confondues, ce ne sont pas les memes choses
H est un point, x une valeur.
x est l'abscisse des points M et N. C'est aussi l'abscisse de H, non ?
Fais une figure de ton problème géométrique pour mieux comprendre...
Pour l'ordonnée, on pourrait en effet passer par le cosinus, mais il faudrait alors connaitre les angles, ce que tu ne connais pas.
Par contre, tu connais l'équation du cercle, donc en connaissant x, tu peux calculer y, non ?
pas exactement,
H est l'intersection de la droite des abscisses et de la droite (MN)
Est-ce que cette abscisse x est nulle sur ta figure ?
ah zut , j'ai confondu avec l'ordonnée ....
ben son abcisse on ne l'a connait pas, bien qu'elle soit ente 0 et 1.
0<h<1
ok
Maintenant, ce qu'on cherche, c'est l'ordonnée des points M et N, d'abscisses h
Comme ils sont sur le cercle, quelle est cette valeur ?
Ben pour l'ordonnée , c'est pareil que l'abcisse, c'est entre 0 et 1 . Mais je ne vois pas comment determiner une valeur precise...
bon,
en appelant x l'abscisse de M et N, donc de H
On a I(1,0) et H(x,0)
donc IH=1-x
De plus, M et N étant sur le cercle, en notant y leur ordonnée, on a
x²+y²=1
d'où y=+V(1-x²) ou -V(1-x²)
En fait, on peut dire que l'ordonnée de M est la valeur positive et celle N la négative (suivant comment tu as nommé tes points sur la figure)
D'ou l'aire du triangle vaut IH*MN/2
ce qui donne (1-x)*2V(1-x²)/2
Ce qui donne exactement f(x) (heureusmeent d'ailleurs, sinon, ca n'aurait servi a rien ce qu'on a fait avant 
)
Pour trouver quand l'aire est minimale, fais le tableau de variation de f
Elle devrit etre minimale quand f' s'annule
Ptitjean
ok merci , ca à le mérite d'etre tres clair
d'aprés mon tableau de variation, f s'annule en 1 . Or si je remplace x par 1 dans (1-x)*2V(1-x²)/2 , ca fait 0 donc ca me semble assez bizar ( en effet l'aire n'est plus minimal mais inexistante...)
et je trouve que l'aire est maximale lorsque x=-1/2 .
c'est ca ?
oui c'est ca.
l'aire est nulle pour x=1, ce qui est normal.
regarde ta figure, tu auras alors M, N et I confondus.
Quand la dérivée d'une fonction est nulle, tu as une tangente horizontale. Dans la plupart des cas, la fonction change de variation a ce moment. Ce qui est ton cas ici.
La fonction f est croissante sur [-1, -1/2] puis décroissante après.
on dit qu'on a un maximum local.
Ton aire est bien maximal ici, ce que tu peux vérifier visuellement sur un dessin.
ok merci , c'est compris
donc apres on me demande de calculer cette aire , et je trouve : 1.3cm²
ensuite la derniere question est :
a l'aide de la caluculatrice , determiner à 0.01 pres, pour quelle valeur de x , autre que O, l'aire du triangle =1
je trouve : -0.83
C'est juste ?
voila , mon dm est fini et compris merci
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