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DM produit scalaire
Bonjour à toutes et à tous , je poste ce message car j'ai un problème avec mon dm de maths je n'arrive pas à faire un exercice, le voici:
soient a, b, c des nombres réels. On considère l'ensemble C des points M(x;y) du plan qui vérifient l'équation x²+y²+ax+by+c=0
a. déterminer en fonction de a, b,c les nombres .
b. En déduire que l'ensemble C est un cercle si et seulement si a² deb²-4c>0 On précisera le centre et le rayon en fonction de a,b,c.
c. Que devient l'ensemble C si a²+b²-4c=0 et si a²+b²-4c<0
bonjour : )
a) Plusieurs façons de traiter :
*** 1) Partant de
>>> x² + ax est le début de quelle identité remarquable ?
>>> y² + by est le début de quelle identité remarquable ?
*** 2) Partant de ,
>>> développe et identifie avec
je ne vois pas tres bien en partant de (x-alpha)²+(y-beta)²+gama j'ai x²+y²-2xalpha-2ybeta+gama apres je bloque et je ne vois pas non plus pour faire la b et la c
Il te manque deux termes,
et
Nous avons donc :
Maintenant on voudrait que ça soit égal à
Que doivent valoir et
et
pour qu'on ait égalité ?
Si on observe le membre de gauche : est le coefficient de
.
Or dans le membre de droite le coefficient de est
.
Donc déjà
Il reste à reproduire le raisonnement pour et
.
Bien sûr dans mon précédent message j'ai inversé la droite et la gauche.
Que doivent valoir
Si on observe le membre de gauche :
Or dans le membre de droite le coefficient de
Donc déjà
Il reste à reproduire le raisonnement pour
Maintenant qu'on ,
et
, que vaut
Ensuite si on utilise la deuxième forme d'équation trouvée, à quelle condition est-elle une équation de cercle ?
Je te rappelle que le cercle de centre et de rayon
a une équation cartésienne de la forme :
si je recapitule j'ai alpha=-a/2, beta=-b/2 et gama=-a/4-b/4+c
pour les autres je ne voit toujours pas
Dans l'équation de cercle que j'ai rappelée oui forcément est positif (car c'est un carré justement).
Tu dois faire l'analogie avec l'équation de cercle établie en a).
On a vu que
Or est une équation de cercle si et seulement si
est une équation de cercle c'est à dire si et seulement si ?
pourriez vous me faire un petit récapitulatif de la question s'il vous plait cela m 'aiderez beaucoup
je suis arrivé à alpha=-a/2, beta=-b/2 et gama=a/4+b/4+c
je voudrais savoir si cela est correct par contre pour la suite je tourne en rond
Nous avons un ensemble de points qui vérifient l' équation suivante : .
Cette équation pourrait être celle d'un cercle. Mais quel cercle ?
Le problème :
Le problème est que sous cette forme il nous est très difficile de donner les éléments caractéristiques de ce cercle c'est à dire : son centre et son rayon.
La solution :
L'idée consiste à nous ramener à une équation de cercle de ce type (équation cartésienne) : où nous savons pertinemment que le centre est
et que le rayon est
.
Nous avons trouvé que l'équation de cercle initiale était équivalence à celle-ci :
avec
,
et
Or, celle nouvelle équation est celle d'un cercle si et seulement si .
Mais nous avons vu que , ainsi :
En résumé, est une équation de cercle si et seulement si
.
A partir d'ici, si est l'équation d'un cercle, quels sont ses éléments caractéristiques ? (Rayon et centre, en fonction de
,
et
.)
cente de coordonnée -alpha;-beta
Observe bien le rappel que j'ai donné :
Je te rappelle que le cercle de centre
Pour l'instant oui.
Mais pour répondre à la question a) on avait besoin uniquement de : ,
et
.
Les autres relations que t'as données, servent après seulement.
Continue.
)²+(y-
)²+
=0 avec .... comme vous l 'avez dit
or, cette nouvelle équation est celle d'un cercle si et seulement si <0
a²+b²-4c=-é²-2²-4(+²+²)
=4²+4²-4(+²+²)
=4²+4²-4-4²-4²
=-4
Je l'ai écrit deux fois très explicitement.
Pour avoir une équation de cercle il faut que soit négatif (strictement).
est négatif strictement se traduit sous la forme d'inégalité :
Si on remplace on obtient .
Si on multiplie par (-4) qui est négatif on obtient .
Et ceci est bien ce que l'énoncé demande.
Ca c'est très fort.
De quelle question tu me parles ? Dis moi exactement ce que tu ne comprends pas.
c-a²/4-b²/4por la question c il faut juste dire que si=0 l'ensemble C devient un seul point de coordonnées ; et si<0 c'est l ensemble vide ou il faut le démontrer est ce nécessaire?
Pour le démontrer sans problème il suffit de revenir à l'équation équivalente établie en a).
Si alors on a
et l'équation établie devient :
.
D'où l'ensemble est réduit à un seul point, lequel ?
Si alors on a
et l'équation établie devient :
.
D'où l'ensemble est l'ensemble vide car une somme de carré (une somme de nombre positif) ne peut jamais être strictement négatif.
Ok ?
Pour le démontrer sans problème il suffit de revenir à l'équation équivalente établie en a).
Si
D'où l'ensemble
Oui tu as bien répondu le point est
Soit
Si
D'où l'ensemble
Ok ?
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