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DM : Produits scalaires
Bonjour,
Je demande votre aide pour cet exercice car j'ai souvent du mal avec les démonstrations. Merci d'avance à tous ceux qui voudront bien m'apporter leur aide!
La droite d'Euler dans un triangle
A.Questions préliminaires
Les deux questions sont indépendantes.
1.A, B, C sont trois points distincts non alignés.
Démontrez que le seul vecteur tel que
.
=0 et
.
=0 est le vecteur nul.
2.OBC est un triangle isocèle en O. Démontrez que:
(+
).
=0 [1]
B.ABC est un triangle, C son cercle circonscrit de centre O, H son orthocentre et G son centre de gravité.
1.a) En utilisant la relation [1] et +
=
, démontrez que :
(+
+
+
).
=0
b) Démontrez que même que :
(+
+
+
).
=0
c) En utilisant A.1, déduisez-en que:
=
+
+
.
2.a) En tenant compte de +
+
=
, démontrez que :
+
+
= 3
b) Déduisez-en des questions précédentes que O, H et G sont trois points alignez. Cette droite est appelée droite d'Euler du triangle ABC.
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