bonjour

U(n+2)≡ U(n) (4)


de cette ralation on tire

U(2)U(0)

or U(0)=142 [4]

U(3)U(1) or U(1)=640 [4]


U(4)U(2))U(0)


or U(0)=142 [4]

U(5)U(3) or U(1)=640 [4]

a partir de ces résultats  on peut conclure sur U(2k) et U (2k+1)

bon courage

bonjour

pour le 2) comme ça tu peux vérifier

U(n+2)=5U(n+1)-6=5(5Un-6)-6=25Un-36

donc U(n+2)=Un (4) ; car 25=1 (4) et 36=0 (4)

si n=2k U(n+2)=U(2k+2)=U(2(k+1)) et Un=U(2k)

U(2(k+1))= U(2k)

donc les termes d'indice pairs sont congrues entre eux mod 4

donc qq soit k U(2k)=U0 (4)
                    = 2 (4) ; car U0=14=2 (4)

de même pour les termes d'indice impairs:

si n=2k+1 U(n+2)=U(2k+3)=U(2(k+1)+1) et Un=U(2k+1)

U(2(k+1)+1)= U(2k+1)

donc les termes d'indice impairs sont congrues entre eux mod 4

donc qq soit k U(2k+1)=U1 (4)
                    = 5*14-6  ; car U0=14
                    = 1*2-2   ; car 5=1 (4) et 14=2 (4) et -6=-2 (4)
                    = 0 (4)

3a) soit a montrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
2U(n)= 5^(n+2) + 3

2U0=28= 5²+3 ; c'est vérifiée pour n=0

Supposons que 2U(n)= 5^(n+2) + 3

2U(n+1)= 10Un-12= 5(5^(n+2) + 3) -12
                = 5^(n+2+1) + 15 -12
                =  5^(n+3) + 3

c'est donc vérifiée pour (n+1)

b) 2U(n)= 5^(n+2) + 3
     = 25*5^n  + 3

5^n= 25 (100) qq soit n>1

en effet pour n=2 5²=25 (100)

supposons que 5^n= 25 (100)

donc 5^(n+1)= 5*5^n
            = 5*25 (100)
            = 125  (100)
            = 25 (100)

donc 2U(n)=25*25  + 3 (100)  ; car 5^n= 25 (100)
          = 625 +3 (100)
          =25+3 (100)
          = 28 (100)